Source: https://github.com/jech/cedilla/blob/master/cyrillic-greek-sample.text

Modern Russian, from Pushkin's ‘The Bronze Horseman’:

  На берегу пустынных волн
  Стоял он, дум великих полн,
  И вдаль глядел.  Пред ним широко
  Река неслася; бедный чёлн
  По ней стремился одиноко.

Pre-revolutionary Russian orthography.  (Excerpt of the Nativity story,
Luke 1., from: The Gospels and Psalter.  Synodal Typography, St. Petersburg,
1904.  Prepared by Serge Winitzki.)

  Глава 1

  ... [67] И Захарія, отецъ его, исполнился Святаго Духа и пророчествовалъ,
  говоря: [68] благословенъ Господь Богъ Израилевъ, что посѣтилъ народъ
  Свой и сотворилъ избавленіе ему, [69] и воздвигъ рогъ спасенія намъ въ
  дому Давида, отрока Своего, [70] ка́къ возвестилъ устами бывшихъ отъ века
  святыхъ пророковъ Своихъ, [71] что спасетъ насъ отъ враговъ нашихъ и отъ
  руки всѣхъ ненавидящихъ насъ; [72] сотворитъ милость съ отцами нашими и
  помянетъ святый завѣтъ Свой, [73] клятву, которою клялся Онъ Аврааму, отцу
  нашему, дать намъ, [74] небоязненно, по избавленіи отъ руки враговъ нашихъ,
  [75] служить Ему въ святости и правдѣ предъ Нимъ во всѣ дни жизни нашей.

Song of Igor (Слово о пълку Игоревѣ), c. 1200, from the Catherine manuscript,
c. 1790.

  Не лѣпо ли ны бяшетъ братіе, начати стар ыми словесы трудныхъ повѣстій
  о полку Игоревѣ, Игоря Святъ славича? Начатижес я тъ пѣсни по былинамъ сего
  времени, а не по замышленію Бояню. Боянъ бо вѣщій, аще кому хотяше пѣснѣ
  творити, то растек ашется мысію по древу, сѣрымъ волкомъ по земли, шизымъ
  орломъ подъ облакы

Primary Chronicle, c. 1110, from the Laurentian Codex, 1377.

  Се повѣсти времѧньных лѣт ‧ ѿкуду єсть пошла руская земѧ ‧ кто въ києвѣ нача
  первѣє кнѧжит ‧ и ѿкуду руская землѧ стала єсть.

Monotonic Greek, from ‘Odysseus Elytis’:

  Τη γλώσσα μου έδωσαν ελληνική
  το σπίτι φτωχικό στις αμμουδιές του Ομήρου.
  Μονάχη έγνοια η γλώσσα μου στις αμμουδιές του Ομήρου.

Polytonic Greek.  From a speech of Demosthenes:

  Οὐχὶ ταὐτὰ παρίσταταί μοι γιγνώσκειν, ὦ ἄνδρες ᾿Αθηναῖοι,
  ὅταν τ᾿ εἰς τὰ πράγματα ἀποβλέψω καὶ ὅταν πρὸς τοὺς
  λόγους οὓς ἀκούω· τοὺς μὲν γὰρ λόγους περὶ τοῦ
  τιμωρήσασθαι Φίλιππον ὁρῶ γιγνομένους, τὰ δὲ πράγματ᾿
  εἰς τοῦτο προήκοντα,  ὥσθ᾿ ὅπως μὴ πεισόμεθ᾿ αὐτοὶ
  πρότερον κακῶς σκέψασθαι δέον. οὐδέν οὖν ἄλλο μοι δοκοῦσιν
  οἱ τὰ τοιαῦτα λέγοντες ἢ τὴν ὑπόθεσιν, περὶ ἧς βουλεύεσθαι,
  οὐχὶ τὴν οὖσαν παριστάντες ὑμῖν ἁμαρτάνειν. ἐγὼ δέ, ὅτι μέν
  ποτ᾿ ἐξῆν τῇ πόλει καὶ τὰ αὑτῆς ἔχειν ἀσφαλῶς καὶ Φίλιππον
  τιμωρήσασθαι, καὶ μάλ᾿ ἀκριβῶς οἶδα· ἐπ᾿ ἐμοῦ γάρ, οὐ πάλαι
  γέγονεν ταῦτ᾿ ἀμφότερα· νῦν μέντοι πέπεισμαι τοῦθ᾿ ἱκανὸν
  προλαβεῖν ἡμῖν εἶναι τὴν πρώτην, ὅπως τοὺς συμμάχους
  σώσομεν. ἐὰν γὰρ τοῦτο βεβαίως ὑπάρξῃ, τότε καὶ περὶ τοῦ
  τίνα τιμωρήσεταί τις καὶ ὃν τρόπον ἐξέσται σκοπεῖν· πρὶν δὲ
  τὴν ἀρχὴν ὀρθῶς ὑποθέσθαι, μάταιον ἡγοῦμαι περὶ τῆς
  τελευτῆς ὁντινοῦν ποιεῖσθαι λόγον.

  Δημοσθένους, Γ´ ᾿Ολυνθιακὸς

Thanks to Frank da Cruz, Markus Kuhn and Wikipedia for collecting these samples.

-----
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Greek#Sample_texts

The beginning of Homer's Iliad exemplifies the Archaic period of Ancient Greek (see Homeric Greek for more details):

Μῆνιν ἄειδε, θεά, Πηληϊάδεω Ἀχιλῆος
οὐλομένην, ἣ μυρί’ Ἀχαιοῖς ἄλγε’ ἔθηκε,
πολλὰς δ’ ἰφθίμους ψυχὰς Ἄϊδι προΐαψεν
ἡρώων, αὐτοὺς δὲ ἑλώρια τεῦχε κύνεσσιν
οἰωνοῖσί τε πᾶσι· Διὸς δ’ ἐτελείετο βουλή·
ἐξ οὗ δὴ τὰ πρῶτα διαστήτην ἐρίσαντε
Ἀτρεΐδης τε ἄναξ ἀνδρῶν καὶ δῖος Ἀχιλλεύς.

The beginning of Apology by Plato exemplifies Attic Greek from the Classical period of Ancient Greek:

Ὅτι μὲν ὑμεῖς, ὦ ἄνδρες Ἀθηναῖοι, πεπόνθατε ὑπὸ τῶν ἐμῶν κατηγόρων, οὐκ οἶδα· ἐγὼ δ' οὖν καὶ αὐτὸς ὑπ' αὐτῶν ὀλίγου ἐμαυτοῦ ἐπελαθόμην, οὕτω πιθανῶς ἔλεγον. Καίτοι ἀληθές γε ὡς ἔπος εἰπεῖν οὐδὲν εἰρήκασιν.

Using the IPA:

[hóti men hyːmêːs | ɔ̂ː ándres atʰɛːnaî̯i̯oi | pepóntʰate | hypo tɔ̂ːn emɔ̂ːŋ katɛːɡórɔːn | uːk oî̯da ‖ éɡɔː dûːŋ kai̯ au̯tos | hyp au̯tɔ̂ːn olíɡuː emau̯tûː | epelatʰómɛːn | hǔːtɔː pitʰanɔ̂ːs éleɡon ‖ kaí̯toi̯ alɛːtʰéz ɡe | hɔːs épos eːpêːn | uːden eːrɛ̌ːkaːsin ‖]

Transliterated into the Latin alphabet using a modern version of the Erasmian scheme:

Hóti mèn hūmeîs, ô ándres Athēnaîoi, pepónthate hupò tôn emôn katēgórōn, ouk oîda: egṑ d' oûn kaì autòs hup' autōn olígou emautoû epelathómēn, hoútō pithanôs élegon. Kaítoi alēthés ge hōs épos eipeîn oudèn eirḗkāsin.

Translated into English:

How you, men of Athens, are feeling under the power of my accusers, I do not know: actually, even I myself almost forgot who I was because of them, they spoke so persuasively. And yet, loosely speaking, nothing they have said is true.
