\input{../common}

\begin{document}
	%<*content>
	\lesson{premiere}{4}{fonction-exponentielle}{La fonction exponentielle}

	\header{caption}{Les exponentielles sont notamment utilisées dans l'étude des croissances.}

	\header{description}{La fonction exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée et qui
		prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels
		une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images. Dans
		ce chapitre, on va étudier les propriétés de cette fonction (relations algébriques,
		dérivées, variations, signe, ...).}

	\header{difficulty}{3}

	\section{Le nombre \texorpdfstring{$e$}{e}}

	Le \textbf{nombre d'Euler} $e$ (également appelé constante de Neper) est une constante mathématique irrationnelle qui possède de nombreuses propriétés.

	\begin{formula}[Valeur approchée]
		Une valeur approchée de $e$ est $\approx 2,71828$.
	\end{formula}

	\begin{nosummary}
		Cependant, une définition plus exacte de $e$ existe.

		\begin{formula}[Autre définition]
			On définit la suite $(e_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.
			Alors la limite de la suite $(e_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $e$.
		\end{formula}

		\begin{tip}
			Grâce à cette définition, il est plus facile de construire un algorithme pour approximer $e$.
		\end{tip}
	\end{nosummary}

	\section{La fonction exponentielle}

	\subsection{Définition}
	\label{definition}

	\begin{formula}[Définition]
		La fonction exponentielle notée pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $e^x$ (ou parfois $\exp(x)$) est l'unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ remplissant les critères suivants :
		\begin{itemize}
			\item $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'$ = $f$
			\item $f > 0$ sur $\mathbb{R}$
			\item $f(0) = 1$
		\end{itemize}
	\end{formula}

	\begin{demonstration}[Existence]
		\textbf{L'existence} de cette fonction est admise, il faut cependant en démontrer \textbf{l'unicité}.
		\newpar
		Soit une autre fonction $g$ vérifiant les mêmes propriétés que notre fonction $f$. On pose pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.
		\newpar
		Comme $g$ ne s'annule pas et que $h$ est un quotient de fractions dérivables ne s'annulant pas sur $\mathbb{R}$, $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
		\newpar
		D'où, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} = 0$ (car $f = f'$ et $g = g'$).
		\newpar
		On a donc $h$ constante sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $h$ est $h(0) = \frac{f(0)}{g(0)} = 1$.
		\newpar
		Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x) = 1 \iff \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \iff f(x) = g(x)$. Donc $g = f$.
	\end{demonstration}

	\begin{tip}[Formules]
		La fonction exponentielle, telle qu'on l'a écrite, est composée d'un réel ($e \approx 2,718 $) et d'un exposant réel $x$. \textbf{Les opérations sur les exposants} sont disponibles, par exemple, pour tout $x$, $y \in \mathbb{R}$ :
		\begin{itemize}
			\item $e^{x+y} = e^x \times e^y$
			\item $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
			\item $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
			\item $(e^x)^y = e^{x \times y}$
		\end{itemize}
		Et bien entendu, $e^0 = 1$.
	\end{tip}

	\subsection{Relations algébriques}

	\begin{formula}[Relations algébriques]
		La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu'il faut connaître. Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$ :
		\begin{itemize}
			\item $e^x = e^y \iff x = y$
			\item $e^x < e^y \iff x < y$
		\end{itemize}
	\end{formula}

	\subsection{Représentation graphique}

	Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d'abscisse $0$ :

	\includerepresentation{d62ctre4}

	On voit plusieurs propriétés données précédemment : $e^0 = 1$, $e \approx 2,718$, etc. Mais également d'autres propriétés que nous verrons par la suite comme le fait que la fonction soit \textbf{strictement positive} sur $\mathbb{R}$. À noter que la \textbf{tangente} à sa courbe représentative en $x = 0$ est $y = x + 1$.

	\begin{tip}[Représentation d'une fonction exponentielle]
		Il peut être utile de savoir représenter une courbe d'une fonction du type $x \mapsto e^{kx}$ avec $k \in \mathbb{R}$ :
		\begin{itemize}
			\item L'image de $0$ par ces fonctions est toujours $1$.
			\item Plus $k$ est grand, plus la croissance est forte et rapide.
			\item Si $k$ est négatif, la courbe est symétrique à celle de $x \mapsto e^{-kx}$ par rapport à l'axe des ordonnées.
		\end{itemize}
	\end{tip}

	\section{Étude de la fonction}

	\subsection{Dérivée}

	\begin{formula}[Dérivée d'une composée]
		Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.
	\end{formula}

	\begin{formula}[Dérivée]
		Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$, on retrouve : $({e^x})' = e^x$.
	\end{formula}

	Cette propriété a été donnée dans la section \hyperref[definition]{``Définition''}.

	\subsection{Variations}

	Avec la dérivée donnée précédemment, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction exponentielle.

	\begin{formula}[Variations]
		\includelatexpicture{variations}
		On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur $\mathbb{R}$.
	\end{formula}

	\subsection{La suite \texorpdfstring{$(e^{na})$}{(exp(na))}}

	\begin{formula}
		Soit $a \in \mathbb{R}$. La suite $(e^{na})$ est une suite géométrique de raison $e^a$ et de premier terme $1$.
	\end{formula}

	\begin{demonstration}
		Posons pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = e^{na}$.
		\newpar
		Calculons $u_{n+1}$ :
		\[ u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na} \times e^a = u_n \times e^a \]
		Et on a bien $u_0 = e^0 = 1$.
	\end{demonstration}
	%</content>
\end{document}
