gradients

Gradients Used in the Jacobian

These aren’t very enlightening, but they’re included for the sake of completeness. There are no guarantees that these are the same as the ones I actually used, since I had to process them heavily from the python versions and I’m not very good at automated replacing.

⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

r₁

r₂

r₃

r₄

θ₁

h_x

h_y

O_x

O_y

⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

▽_vS_y

⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

h_x(−2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(−2r₄sin(θ₁) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(4r₁ − 4r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) + 2r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))cos(θ₁) + 2r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))sin(θ₁))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₁ + 2r₄cos(θ₁) + 2r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) + cos(θ₁)) + h_y(−sin(θ₁) − 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(−2r₄sin(θ₁) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(4r₁ − 4r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) + 2r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))cos(θ₁) + 2r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))sin(θ₁))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₁ + 2r₄cos(θ₁) + 2r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))))

h_y(−2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(2r₄sin((θ₂)_j) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(4r₂ − 4r₁cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))cos((θ₂)_j) − 2r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))sin((θ₂)_j))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₂ − 2r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) + sin((θ₂)_j)) + (1 − h_x)cos((θ₂)_j) − 2h_xr₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(2r₄sin((θ₂)_j) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(4r₂ − 4r₁cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))cos((θ₂)_j) − 2r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))sin((θ₂)_j))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₂ − 2r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))

−2h_xr₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(2r₃(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)) + 2r₃σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) − 2h_yr₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(2r₃(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)) + 2r₃σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))

h_x(−2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(−2r₁sin(θ₁) + 2r₂sin((θ₂)_j) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−2r₄(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) + 0.5(−4r₂cos((θ₂)_j) + 4r₁cos(θ₁))(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁)) + 0.5(−4r₂sin((θ₂)_j) + 4r₁sin(θ₁))(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁)))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₄ − 2r₂cos((θ₂)_j) + 2r₁cos(θ₁))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) + cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))) + h_y(−sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) − 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(−2r₁sin(θ₁) + 2r₂sin((θ₂)_j) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−2r₄(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) + 0.5(−4r₂cos((θ₂)_j) + 4r₁cos(θ₁))(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁)) + 0.5(−4r₂sin((θ₂)_j) + 4r₁sin(θ₁))(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁)))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₄ − 2r₂cos((θ₂)_j) + 2r₁cos(θ₁))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))))

h_x(−r₁sin(θ₁) − 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(−4r₁r₂cos(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j) + 4r₁r₂sin(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₁r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))sin(θ₁) + 2r₁r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))cos(θ₁)) − 2r₁r₄cos(θ₁)) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))(−2r₁r₄sin(θ₁) − 2r₁r₂sin(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j) + 2r₁r₂cos(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))) + h_y(−r₁cos(θ₁) − 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(−4r₁r₂cos(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j) + 4r₁r₂sin(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₁r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))sin(θ₁) + 2r₁r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))cos(θ₁)) − 2r₁r₄cos(θ₁)) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))(−2r₁r₄sin(θ₁) − 2r₁r₂sin(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j) + 2r₁r₂cos(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))))

r₁cos(θ₁) + r₄cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) − r₂cos((θ₂)_j)

r₂sin((θ₂)_j) − r₁sin(θ₁) − r₄sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))

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▽_vS_y

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h_x(2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(−2r₄sin(θ₁) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(4r₁ − 4r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) + 2r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))cos(θ₁) + 2r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))sin(θ₁))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₁ + 2r₄cos(θ₁) + 2r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) + sin(θ₁)) + h_y(−cos(θ₁) + 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(−2r₄sin(θ₁) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(4r₁ − 4r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) + 2r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))cos(θ₁) + 2r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))sin(θ₁))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₁ + 2r₄cos(θ₁) + 2r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))))

h_y(2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(2r₄sin((θ₂)_j) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(4r₂ − 4r₁cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))cos((θ₂)_j) − 2r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))sin((θ₂)_j))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₂ − 2r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) + cos((θ₂)_j)) + (1 − h_x)sin((θ₂)_j) + 2h_xr₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(2r₄sin((θ₂)_j) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(4r₂ − 4r₁cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))cos((θ₂)_j) − 2r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))sin((θ₂)_j))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₂ − 2r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))

2h_xr₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(2r₃(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)) + 2r₃σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) + 2h_yr₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(2r₃(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)) + 2r₃σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))

h_x(2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(−2r₁sin(θ₁) + 2r₂sin((θ₂)_j) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−2r₄(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) + 0.5(−4r₂cos((θ₂)_j) + 4r₁cos(θ₁))(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁)) + 0.5(−4r₂sin((θ₂)_j) + 4r₁sin(θ₁))(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁)))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₄ − 2r₂cos((θ₂)_j) + 2r₁cos(θ₁))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) + sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))) + h_y(−cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) + 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(−2r₁sin(θ₁) + 2r₂sin((θ₂)_j) + σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−2r₄(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) + 0.5(−4r₂cos((θ₂)_j) + 4r₁cos(θ₁))(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁)) + 0.5(−4r₂sin((θ₂)_j) + 4r₁sin(θ₁))(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁)))) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(−2r₄ − 2r₂cos((θ₂)_j) + 2r₁cos(θ₁))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))))

h_x(r₁cos(θ₁) + 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(−4r₁r₂cos(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j) + 4r₁r₂sin(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₁r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))sin(θ₁) + 2r₁r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))cos(θ₁)) − 2r₁r₄cos(θ₁)) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))(−2r₁r₄sin(θ₁) − 2r₁r₂sin(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j) + 2r₁r₂cos(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))) + h_y(r₁sin(θ₁) + 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(−4r₁r₂cos(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j) + 4r₁r₂sin(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₁r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))sin(θ₁) + 2r₁r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))cos(θ₁)) − 2r₁r₄cos(θ₁)) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))(−2r₁r₄sin(θ₁) − 2r₁r₂sin(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j) + 2r₁r₂cos(θ₁)²cos((θ₂)_j)sin((θ₂)_j)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))))

r₁sin(θ₁) + r₄sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j)))) − r₂sin((θ₂)_j)

r₂cos((θ₂)_j) − r₁cos(θ₁) − r₄cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))

⎞
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⎠

∂S_x

∂(θ₂)_j

=h_y(r₂cos((θ₂)_j) − 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(−4r₁r₂cos((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁) + 4r₁r₂sin((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₂r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))cos((θ₂)_j) + 2r₂r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))sin((θ₂)_j)) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j)) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))(2r₂r₄sin((θ₂)_j) − 2r₁r₂sin((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁) + 2r₁r₂cos((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))) − r₂(1 − h_x)sin((θ₂)_j) − 2h_xr₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(−4r₁r₂cos((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁) + 4r₁r₂sin((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₂r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))cos((θ₂)_j) + 2r₂r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))sin((θ₂)_j)) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j)) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))(2r₂r₄sin((θ₂)_j) − 2r₁r₂sin((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁) + 2r₁r₂cos((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))

∂S_y

∂(θ₂)_j

=h_y(−r₂sin((θ₂)_j) + 2r₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(−4r₁r₂cos((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁) + 4r₁r₂sin((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₂r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))cos((θ₂)_j) + 2r₂r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))sin((θ₂)_j)) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j)) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))(2r₂r₄sin((θ₂)_j) − 2r₁r₂sin((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁) + 2r₁r₂cos((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁)))sin(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))) + r₂(1 − h_x)cos((θ₂)_j) + 2h_xr₄/(1 + (σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))²(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2))(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)⁻0.5(−0.5(−4r₁r₂cos((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁) + 4r₁r₂sin((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁))(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j)) − 2r₂r₄(−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))cos((θ₂)_j) + 2r₂r₄(−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))sin((θ₂)_j)) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j)) + (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))⁽−2)(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))(2r₂r₄sin((θ₂)_j) − 2r₁r₂sin((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁) + 2r₁r₂cos((θ₂)_j)²cos(θ₁)sin(θ₁)))cos(2atan(1/(r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₄cos(θ₁) + 2r₂r₄cos((θ₂)_j) − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))(σ((−2r₂r₄cos((θ₂)_j) + 2r₁r₄cos(θ₁))² + (−2r₂r₄sin((θ₂)_j) + 2r₁r₄sin(θ₁))² − (r₁² + r₂² + r₄² − r₃² − 2r₁r₂cos(θ₁)cos((θ₂)_j)sin(θ₁)sin((θ₂)_j))²)^0.5 − 2r₁r₄sin(θ₁) + 2r₂r₄sin((θ₂)_j))))

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