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title: 煞风景系列™之调和曲线图
date: '2005-12-21T15:55:00+08:00'
slug: 15-55-00
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调和曲线图是D.F.Andrews 1972年提出的三角多项式作图法，所以又称为三角多项式图，其思想是把**高维**空间中的一个样品点对应于**二维**平面上的一条曲线。


设p维数据`$x = (x_1,x_2,\ldots,x_p)'$`，对应的曲线是：


`$$f_{x}(t)={\frac {x_{1}}{\sqrt {2}}}+x_{2}\sin(t)+x_{3}\cos(t)+x_{4}\sin(2t)+x_{5}\cos(2t)+\cdots$$`

上式当$t$在区间`$[-\pi, \pi]$`上变化时，其轨迹是一条曲线。


在多项式的图表示中，当各变量的数值太悬殊时，最好先标准化后再作图。这种图对聚类分析帮助很大，如果选择聚类统计量为**距离**的话，**同类的曲线非常靠近拧在一起，不同类的曲线相互分开**，非常直观。



书上一般都会讲调和曲线图的两点优良数学性质：一是保持线性性，二是与一般的欧式距离之间的关系。前一点倒是没什么让人惊奇的，因为保持线性性的变换太多了；第二点可以稍作研究。


上面的变换是一个连续函数，我们定义两个样本X与Y之间的距离为如下平方积分形式（事实上也是一种常用的范数）：

`$$d^2_{f_xf_y}=\int_{-\pi}^{\pi}|f_x(t)f_y(t)|^2dt$$`

愿意复习三角函数积分的可以做一做，其实很简单的。最后可以发现这个距离与欧式距离（后者）有如下关系：

`$$d^2_{f_xf_y}=\pi d^2_{XY}$$`

根据这条性质我们马上可以得知前面观察图线聚类的数学依据。关于调和曲线图，有两点需要P.S.一下：


P.S.1 若样本量很大，可以想象，作出的图必然是“浓墨重彩”，混在一起分不清楚。比如1000条线缠在一起，到时候还能分清谁是谁么？所以这种图形只是适合小型样本的大致观察。


P.S.2 本图形是从余毅师兄的书上看到，以前我也不知道。师兄先是问我会不会用SAS，然后再问我怎么用软件作这种图，我便领会到这又是对SAS的畏惧和盲目崇拜的典型例子……大家觉得该怎么作呢？用得着请出SAS老爷爷么？
