航空动力学报
JOURNAL OF AEROSPACE POWER
1999年　第14卷　第1期　VOL.14　No.1　1999



转子―齿轮联轴器系统的
弯扭耦合振动研究
　　李　明　张　勇　姜培林　虞　烈
摘要：根据内齿轮副的啮合条件和拉格朗日方程，在旋转坐标系中建立了转子―齿轮联轴器系统的弯扭耦合振动方程。对方程进行数值积分求解，结果表明，对于对中良好的轴系，弯扭耦合与弯扭解耦时其瞬态响应的低阶频率值非常接近；对于不对中轴系，弯扭耦合会产生偶数倍频的弯曲振动分量和奇数倍频的扭转振动分量。
主题词：转子　齿轮　联轴器　振动
分类号：TH113
RESEARCH ON COUPLED
LATERAL TORSIONAL VIBRATION
OF ROTOR-GEAR COUPLING SYSTEM
Li Ming，Zhang Yong，Jiang Peilin，Yu Lie
（Institute of Lubrication Theory & Bearing,Xi'an JiaoTong University,Xi'an　710049)
ABSTRACT　Based on the meshing condition of the gears,the constraint equation describing relations between the displacements in the centers and torsional angular displacements of the mating gears is derived.The coupled lateral and torsional vibration model of a rotor system with a gear coupling is developed with Lagrange's Equation and the constraint equation in rotating reference frames.The system of two Jeffcott rotors connected by a gear coupling has been analyzed numerically and the results show that the transient response frequency of aligned rotors approximately equals to the uncoupled model in lateral vibration,but the even-integer multiples of lateral vibration and the odd-integer multiples of torsional vibration are found out by the coupled model for the misaligned rotors.
Key　Words　Rotors　Gears　Couplings　Vibrations
1　前　言
　　在文献［1，2］中，均采用了几个基本假设，其中之一是“联轴器各内外齿承载相同”，这个条件隐含了这样一个事实：内齿套轴线和外齿轮轴线是对中的。而在实际工程中存在着不对中或者对中不良的情形，在不对中时，只有在啮合线上的齿对才接触［3］，因此只有少数几个齿对承载。在某些情况下，即使对中良好，由于齿形或啮合的误差也会发生上述情况，文献［4］分析了齿轮联轴器轮齿的误差后得出了一套计算公式，通过计算可知，当模数为3，齿数等于56时，其极限情况只有不到4对齿接触。工程实际的分析和试验［2，5，6］表明：一些采用齿轮联轴器连接的转子系统会程度不同地产生倍频的振动分量，而这一分量的出现正是齿轮联轴器不对中的典型特征，因此有必要进行相应的分析。本文根据内齿轮副的啮合条件和拉格朗日方程，在旋转坐标系中建立了转子―齿轮联轴器系统的弯扭耦合振动方程。最后进行了数值计算、频谱分析和相应的讨论。
2　渐开线直齿内齿轮副啮合关系分析
　　设Si(oixiyizi)坐标系是与内齿套固连的动坐标系，xi轴与内齿套某一齿的一侧齿形相交于基圆(半径为rb)上，zi轴与内齿套轴线重合，oi为坐标原点。设S(oxyz) 坐标系为固定坐标系，如图1所示。二坐标系之间的关系为：
x=xicos（γ+θi）-yisin（γ+θi）+xji ， y=xisin（γ+θi）+yicos（γ+θi）+yji(1)
　　在动坐标系中，渐开线直齿齿面上任意一点P的齿面方程（内齿套）为：
xi=rb(cosγi+γisinγi)　　，　　yi=rb(sinγi-γicosγi)　(2)
式中γi=α+βi，rb为基圆半径。将（2）式代入（1）式得：
(3)


图1　啮合关系分析
　　在S(oxyz)坐标系中，内齿套齿面上p点的法线向量和速度分别为：
＝｛rbγisin（θi+γi+γ），-rbγicos（θi+γi+γ），0｝　(4)
　(5)
式中　
　　同理可得出外齿轮上p′点的法线向量和速度，根据啮合条件可得：
（θi-θe）2=［(xji-xje)2+(yji-yje)2］／r2b　(6)
其中：下标i和e分别表示内齿套和外齿轮。
　　设β角是连心线与x轴之间的夹角，则：　cosβ=(xji-xje)/A　，　 sinβ=(yji-yje)/A
其中：为两轮中心距。 
3　半联轴器系统的运动微分方程
　　如图2所示的半联轴器是整体系统的一个子系统，下面以此为例来说明系统方程的建立


图2　半联轴器系统和坐标系
过程，设S(oξηz)为旋转轴系，旋转轴系与固定轴系的变换关系为：
(7)
　　如果将（6)式变换到旋转坐标系oξηz中，则得：
r2b（θji-θje）2=（ξji-ξje）2+(ηji-ηje)2　(8)
设
βR表示在旋转轴系中，内外轮中心连线与ξ轴之间的夹角。从而得βR=β-Ωt。
　　圆盘的运动可分解成随其质心的平动和绕质心的转动。对于上述子系统的动能包括内外齿轮的平动动能和转动动能：
　(9)
式中：m为齿轮的质量，Jd和Jz分别为齿轮的极转动惯量和赤道转动惯量。
　　子系统的弹性势能(包括左右轴段的弹性势能和半联轴器的弹性势能)为：
U=Ul+Ur+(1/2)Kc（θji-θje）2　（10）
式中：Ul和Ur分别表示左右轴段弯曲和扭转弹性势能之和，Kc为联轴器轮齿的扭转刚度系数。
　　子系统的耗散函数：
　（11）
式中：cl和ca分别为齿轮联轴器的横向阻尼系数和转角阻尼系数。
　　将约束关系（8）式代入系统的动能、势能表达式中，消去多余的变量θji并代入拉氏方程，略去高阶小量后，即得系统的运动微分方程。由于方程冗长，在此略去。但从式(8)可以看出，系统的弯曲振动和扭动振动在齿轮联轴器的啮合处是耦合在一起的。
　　对于转子系统的弯曲和扭转振动来说，以往在分析时往往把二者分割开来，原因是用来表征它们运动的广义坐标是解耦的，但在大型的轴承―转子系统中，一般弯曲振动和扭转振动同时存在，在加入了齿轮联轴器之后，系统的弯曲振动和扭转振动就耦合起来了。由约束方程和动能、势能的表达式可知，系统方程不仅出现弹性耦合，而且会出现惯性耦合。如果在式(11)中考虑了齿轮联轴器的扭转内阻尼，那么阻尼项一定也会出现弯扭耦合的现象。以上的方程只在βR变化较小时，可近似为线性方程来处理，一般情况下是非线性的。如果轴线间具有静不对中量，则可通过坐标变换再代入系统方程中，即可得到相应的运动微分方程。


图3　轴承―转子―齿轮联轴器系统图
对于如图3所示的实际转子系统，通常包含有二个半联轴器，约束方程为：
（12）
　　考虑了二个半联轴器后，耦合关系将变得更为复杂。以上建立了在齿轮联轴器处的运动微分方程，对于其他各结点处的运动方程由于弯扭解耦，故可较简单地直接写出，这样就建立了转子―齿轮联轴器系统的运动方程。对于图3系统，只要在结点1，3，6和8处加入相应的8个油膜刚度和阻尼系数（应变换到旋转坐标系中），就可得到轴承―转子―齿轮联轴器整体系统的运动微分方程。图3由一齿轮联轴器连接的二个Jeffcott转子组成的系统，共有48个自由度。
4　非线性数值计算
　　计算模型见文献［1］，工作转速为3000 r/min。计算时采用无量纲化，具体过程从略［7］。数值计算方法采用加权残值直接积分法［8］。计算步骤如下：(1)无静不对中时，在横向冲击作用下不平衡转子的瞬态响应计算和频谱分析，结果见图4(a)。(2)具有静不对中时，平衡转子的瞬态响应计算和频谱分析，图4(b)为弯曲振动，图4(c)为相应的扭转振动。


图4　工作转速下的响应曲线和相应的频谱图
（注：本文的不平衡指圆盘具有质量偏心而引起的惯性力。图4(a)和(b)的响应曲线已变换到固定坐标系中。）
5　分析及讨论
　　图4所示只是其中典型的几种振动响应曲线。从图4(a)可见，系统的不平衡响应在瞬态阶段主要由低阶的衰减振动频率和工频组成，而此衰减的频率值与在弯扭解耦时弯曲振动的第一阶固有频率值非常接近［1］，适当改变系统的结构参数，上述结论仍然存在；除了这二个频率外其他的频率成分很小，可以想象，当轴承的阻尼不足，而系统又存在各种不稳定因素时，系统会在低频处发生自激振动。大量计算还发现，仅考虑弯曲振动时，在线性的解耦模型中，系统的前几阶固有频率都能在弯扭耦合后的振动中表现出来，但耦合后的振动频率更为丰富。从图4(b)明显可见，横向位移响应包含着工频的2，4，6，…等偶数倍频分量。这一偶数倍频振动分量正是齿轮联轴器具有不对中时典型的故障特征。并在一些实验中得到证实［2，5，6］。图4(c)显示了此时的扭转振动具有1，3，5，…等奇数倍频振动分量。而且这些倍频振动分量是由内齿套的惯性力和齿轮联轴器的内阻尼共同作用的结果。文献［9］指出由于不对中会引起齿轮联轴器内齿套的惯性力，该力产生2倍频的弯曲振动，并以此作为不对中故障诊断的判据。实际上转子的横向裂纹、径向摩擦等故障也都会引起转子2倍频等的振动分量，因此本文的这一结果能为这类转子系统的故障提供更为详细的诊断信息。由于上述倍频分量的存在，使得在系统设计时除了要考虑系统发生主共振外还要考虑发生谐波共振的可能性。
6　结　论
　　在具有齿轮联轴器的转子系统中，弯曲振动和扭转振动是耦合的；在齿轮联轴器对中良好时，弯扭耦合后与解耦情形［1］，其弯曲振动瞬态响应的低阶频率值非常接近；在齿轮联轴器具有静不对中时，弯扭耦合振动会产生偶数倍频的弯曲振动分量和奇数倍频的扭转振动分量，而且这些倍频振动分量是由内齿套的惯性力和齿轮联轴器的内阻尼共同作用的结果。这一振动特征可以为故障诊断提供更为详细的诊断信息。
本文系国家自然科学基金资助项目，编号：59493700
作者简介：李　明　男　35岁　博士生　西安交通大学润滑理论及轴承研究　710049
作者单位：　西安交通大学
参考文献
［1］　李明，姜培林，虞烈．轴承―转子―齿轮联轴器系统的振动研究．机械工程学报，1998,34(3)：39-45
［2］　Marmol R A.Spline Coupling Induced Nonsynchronous Rotor Vibrations.ASME Journal of Mechanical Design,1980,102(1):168-176
［3］　冯澄宙．渐开线少齿差行星传动．北京：人民教育出版社，1982
［4］　Shigeo NAWATE,Yoshio TERAUCHI.Number of Teeth in Contact and Load Capacity of Gear-Type Shaft Coupling.JSME International Journal,1995,38(1):106-111
［5］　Bachschmid N,Curami A,Petrone F.Vibrational Behaviour of Rotors with Gear Couplings in Case of Insufficient Coupling Lubrication. Proc. of the Inernational Conference on Rotor Machine Dynamics,April 28-30，1992：232-239 
［6］　孙义冈，陈耿，李伟华．齿套联轴器对轴系振动的影响．动力工程，1991，11(6)：21-24
［7］　虞烈．轴承―转子系统的稳定性与振动控制研究：［博士论文］．西安交通大学，1987
［8］　凌复华等．常微分方程数值方法及其在力学中的应用．重庆：重庆大学出版社，1990
［9］　韩捷．齿式联接不对中转子的故障物理特性研究．振动工程学报，1996，9(3)：297-301
收稿：1997年12月
修稿：1998年10月
责任编辑：王震华
