自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
1999年　第25卷　第5期　Vol.25 No.5 1999



基于无源性分析的鲁棒控制系统设计1)
冯纯伯　张侃健　费树岷
摘　要　给出不确定非线性系统鲁棒控制的一种设计方法.经校正网络将一微分算子传递给对象后，采用bangbang控制使余下的部分无源化，并引入适当的符号跟随系统，使直输回路严格无源.于是全反馈控制系统具有很强的鲁棒性.同时讨论了系统稳定、不稳定、逆不稳定的各种情况的设计.
关键词　鲁棒控制，无源性，非线性控制，不确定性.
PASSIVITYBASED DESIGN OF ROBUST
CONTROL SYSTEMS
FENG Chunbo　ZHANG Kanjian　FEI Shumin
(Research Institute of Automation,Southeast University,Nanjing　210096)
Abstract　　An approach for the design of robust control for uncertain nonlinear systems is proposed.An appropriate differential operator is conveyed to the controlled plant by a network of cascade compensation,while its remained part is passivitized via optimum bangbang control.A proper signfollowing system is introduced to make the feedforward pass strictly passive.The whole feedback system is strongly robust.The cases for stable,unstable,inversely unstalbe plants are discussed.
Key words　Robust control,passivity,nonlinear system,uncertainty.
1　引　言
　　线性和非线性不确定系统的控制一直是一个很有挑战性的课题.虽然已有许多研究成果，但远不能认为已圆满解决.近年来如何应用无源性分析方法设计鲁棒控制系统引起了较多的重视.一个严格无源的动态系统一般均有良好的动态特性和较强的鲁棒性.以线性系统为例，严格无源的传递函数的频率特性位于复平面的一、四象限内，因此这类系统具有较大的稳定裕度，也不会有弱阻尼振荡特性.最近文献［1―3］讨论了如何设计非线性控制系统使其严格无源，提出的方法已引起了国际上的广泛重视，其思想新颖，但仍需要相当多的先验知识.文献［4―8］多次讨论了无源性分析的应用，提出了符号跟随系统(SFS)的概念，在一定场合下SFS是实现严格无源化的一种有效方法.文献［6］将它用于线性系统的控制取得了良好的效果，仿真表明即使对于非最小相位系统控制效果也相当良好.本文将文献［6］的设计思想作进一步的发展，将它用于非线性系统的控制.
2　控制方案
　　采用图1所示的控制结构


图1　控制结构
图中u|→x为对象特性，设
A(s,x)=sn+an-1(x)sn-1+…+a0(x),　(1)
B(s,x)=bn-m(x)sn-m+bn-m-1(x)sn-m-1+…+b0(x).　(2)
假设m≥1为已知，首先讨论A(s,x),B(s,x)均为渐近稳定且为有界算子的情况.图中q(s),p(s)均为m阶Hurwitz多项式.
　　取校正网络L(s)/D(s)如下：
L(s)=lmsm+lm-1sm-1+…+l0,　(3)
D(s)=sm+dm-1sm-1+…+d0,　(4)
l′is,d′is均为正常数.不难用图2所示的网络实现之.


图2　校正网络
　　图1中ψ代表逻辑切换函数.作者采用极大值原理实现bangbang控制，使z以最快的速度跟随e.取D(s)的特征值均为实数，此时ψ容易确定，(可参阅文献［3］).可证明以下引理成立.
　　引理1.当ψ按极大值原理确定的时间最短bangbang控制策略时e|→z为严格无源(证明见附录A).
　　图1中φ代表一种逻辑切换，暂且认为φ=1(其作用以下再交代).
　　引理2.对于渐近稳定且有界的算子A(s,x),B(s,x)在一定条件下存在稳定的线性算子L(s)和适当的q(s)/p(s),使A-1BLq/p严格无源，且无源度可以选定，此处L(s)的阶次为A，B阶次之差，且不小于1.(证明见附录B)
　　引入L(s)/D(s)的目的可以理解成是为了引入微分算子L(s),使A-1BLq/p严格无源，其无源度是可以选择的.然后采用时间最短的bangbang控制，使z以最快速度跟随e的变化，此时e｜→z严格无源，这样就得到了两个严格无源系统的串联.文献［5］说明在一定条件下e｜→x也可以是严格无源的，这决定于如何选择L(s).以上所述表明图1所示是根据无源性分析设计的.
　　φ的作用是代表SFS，它是逻辑切换.引入它的目的在于使v｜→y严格无源.采用图3所示结构，其中φi=(sgn v)(sgn z(i)),i=1,2,…,m，于是根据无源性定义，所有的v｜→y(i)都是严格无源的，这就说明了φ的总体作用使v｜→y严格无源，而使L(s)传递给对象，且不受逻辑切换的影响.这样的结构是可以实现的.


图3　逻辑切换系统
　　以上分析表明适当选择L(s)可保证y｜→x严格无源，且其无源度是可以选择的.只要A，B始终保持渐进稳定，在使y｜→x严格无源的条件下，再采用bangbang控制或SFS，或两者兼用，使e｜→y严格无源，最终使e｜→x严格无源，这就实现了鲁棒控制.
3　逆不稳定系统的控制
　　设B(s,x)为不稳定算子，A(s,x)仍为稳定算子，要控制的是一非最小相位系统.用常规方法控制这类非最小相位系统有一定的难度，文献［6］提出了一种采用SFS的控制方案，原理是采用一严格无源的参考模型接在相同的输入端，然后比较系统输出和模型输出的符号，用SFS使最后输出的符号和模型输出的符号一致，这就可使整个系统严格无源化了.最简单并且有效的参考模型是1，于是采用图4所示形式的控制由于此时u和x′的符号总是一致的，因此当A为稳定算子时，根据无源性定义,u｜→x′是严格无源的.采用上述SFS的优点从物理上是容易理解的：控制的目的是力求x跟随z，当x,u的符号不一致时，SFS使负反馈变为正反馈，有利于消除误差，于是性能改善.本控制系统中其余部分仍和图1所示相同，但略去了φ.


图4　逆不稳定系统的控制结构
4　不稳定系统的控制
　　设A(s,x)为不稳定算子，B(s,x)稳定.此时可采用图5所示的控制结构，其中L(s)为m阶，此时
g｜→x:A-1BL，记g｜→x以输出x表示的无源度为εx，由于BL稳定，且和A同阶，在一定条件下εx可以定义，即在一定条件下可设
〈g｜x〉T≥εx‖x‖2T,　(5)
由于A不稳定，因此εx为负.但根据文献［5］中的定理3.6.3，此时有
〈y｜x〉T≥(εx+1)‖x‖2T.　(6)
显然，调整L(s)可使εx+1＞0.于是y｜→x严格无源.全系统其它部分的设计依旧，这样就实现了全系统的鲁棒控制.需要指出，对于线性系统εx是可以定义的，但对于非线性系统是否存在L(s)使εx可以定义，则取决于A，若它的非线性是有界的，则根据文献［5］及引理2可以理解此时负的εx是可以定义的.


图5　不稳定系统的控制结构
5　仿真结果
　　对于非线性对象　B(s,x)/A(s,x)=1/(s2+(2+0.5sinx)s+1+e-0.2｜x｜),取校正网络　L(s)/D(s)=K(s2+2.5s+1)/(0.5s2+1.5s+1).图6给出了上述各种校正下系统的响应曲线，图中曲线1，2，3，4分别为线性校正，利用SFS、bangbang控制，SFS和bangbang控制相结合时系统的响应曲线.从图6可以看出，加入SFS后系统响应较快且稳态误差小.采用bangbang控制后系统响应快，两者的控制效果都明显优于线性校正，若两者结合起来可以取得更好的控制效果.


图6　仿真结果
6　结　论
　　根据无源性分析，本文提出的非线性系统的鲁棒控制设计方案适用于相当宽的一类不确定系统，对系统的先验知识要求有限.文中分别讨论了原系统是渐近稳定且逆稳定、逆不稳定、不稳定等情况.可以看出设计中“符号跟随系统(SFS)”可起很大的作用.本文提供的是设计方法，具体计算中将涉及非线性系统的无源性计算，虽然文献［7］讨论了这一问题，但一般的计算方法尚待确定.
附录A
引理1的证明.
　　记SISO线性系统为
x=Ax+bu,　y=cTx.　(A1)
设A的特征值为-λi,λi≥0,i=1,2，…，n，则存在初等变换x=Tz,使上式变为
z=T-1ATz+T-1bu=Λz+b′u,　y=cTTz=c′Tz,　(A2)

取Hamiton函数
φTz=φT(Λz+b′u)=φTΛz+φTb′u, u′=b′u,
其中φ为伴随状态(adjoint state),它满足
φ=-ΛTφ,φ(0)=φ0,φ=e-ΛTtφ0.　(A3)
极大值原理要求
　(A4)
u′*表示u的最佳值，Ω为可允许的集合.上式表明u′*应和φ同方向，因此取
u′*=Pφ,　(A5)
其中P应为对角线正定方阵.因此
u′*=Pe-ΛTtφ0=e-ΛTtφ′0.　(A6)
因Λ为对角线阵，上式显然成立，φ′0=const.
　　计算此系统的无源度

式中λmax为最大值，上式成立的理由是Λ为正定对角线阵，因此上式显然定号，同时根据时间最佳控制，y应尽快跟上u,因此此定号为正，即b′Tc′φ′Tφ′＞0.事实上根据时间最短的bangbang控制的具体计算也可证明b′Tc′φ′Tφ′＞0.引理得证.
附录B
引理2的证明.
　　根据文献［7］对于渐近稳定且有界的算子A存在低一阶的渐近稳定且有界的B1，使A-1B1严格无源，B1并不唯一.此时取L1=a1s+b1使A-1B1L1严格无源，且其无源度可以通过a,b任意调节，从而L1A-1B1也可能是严格无源且其无源度是可以选择的.对B1，如上所述存在低一阶的渐近稳定且有界的B2和L2=a2s+b2使B-11B2L2严格无源，且其无源度是可以选择的.将L1A-1B1与B-11B2L2串联则得L1A-1B2L2，根据文献［5］可知两个严格无源系统的串联仍可能是严格无源的，即存在线性算子L1，L2使L2L1A-1B2也是严格无源的.依次类推，存在线性算子L1，L2，…，Ln(n为A的阶次)使LnLn-1…L1A-1是严格无源的，且其无源度是可以选择的.取N(s)=LnLn-1…L1，则N(s)A-1严格无源.类似上述讨论可知，对渐近稳定且有界的算子B存在线性算子M(s)使B-1M(s)是严格无源的，且其无源度是可以任意选择的.同样根据文献［5］知NA-1BM-1可以严格无源，因此对适当的p(s)和q(s)可使A-1BLq/p也是严格无源的.引理得证.
1) 国家攀登计划及国家自然科学基金资助项目.
作者简介：冯纯伯　1928年生.1950年浙江大学电机系毕业，1953年哈尔滨工业大学研究生毕生，1958年在前苏联列宁格勒大学获技术科学副博士学位，1995年当选为中国科学院院士.目前从事非线性控制系统的研究.
　　　　　张侃健　1972年生.1994年和1997年分别在南开大学、东南大学获学士和硕士学位.现于东南大学自动化研究所攻读博士学位.
　　　　　费树岷　1961年生.1985年获安徽大学理学硕士学位，1995年获北京航空航天大学工学博士学位，1995年至1997年在东南大学自动化研究所从事博士后工作.主要兴趣：非线性控制系统设计与综合、鲁棒控制、自适应控制、时滞系统分析和综合等.
作者单位：东南大学自动化研究所　南京　210096
参考文献
1　Sepulchre R,Jankovic M,Kokotovic P.Constructive Nonlinear Control.New York:Springer,1997
2　Desoer C A,Vidyasagar M.Feedback Systems InputOutput Properties.New York:Academic Press,1975
3　Ryan E P.Optimal Relay and Saturating Control System Synthesis.Peter Peregrinus Ltd.1982
4　冯纯伯.反馈系统的无源性分析及其应用.自动化学报，1985，11(2)：111―117
5　冯纯伯，费树岷.非线性控制系统分析与设计(第2版).北京：电子工业出版社，1990
6　冯纯伯，徐魁.运用逻辑切换改善反馈控制系统的动态特性.信息与控制，1992，21(5)：257―260
7　冯纯伯.应用无源性研究时变非线性系统的稳定性.自动化学报，1997，23(6)：775―781
8　冯纯伯.关于定常线性系统的正性和最优性.南京工学院学报，1984，4：99―101
收稿日期：1998-04-30
收修日期：1999-01-15
