自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
2000　Vol.26　No.3　P.382-386



工业过程广义稳态优化控制算法的
收敛性研究
罗旭光　万百五
摘　要　根据Zangwill全局收敛理论，定义了求解工业过程广义稳态优化控制问题的算法赖以依托的点-集映射关系；在此基础上，证明了算法的解序列能够使得工业过程广义稳态优化控制问题的目标函数在其相应集合上是一个Zangwill函数，从而证明了工业过程广义稳态优化控制算法具有全局收敛性.
关键词　工业过程广义稳态，点-集映射，Zangwill函数，全局收敛性
RESEARCH ON THE CONVERGENCE OF GENERALIZED 
STEADY-STATE OPTIMIZING CONTROL ALGORITHM
FOR INDUSTRIAL PROCESSES
LUO Xuguang　　WAN Baiwu
(Systems Engineering Institute,Xi'an Jiaotong University, Xi'an　710049)
Abstract　　According to the Zangwill's global convergence theory,a point-to-set mapping which supports the algorithm solving the generalized steady-state optimizing control problem(GOP) is defined.In light of the definition,it is proved that the sequence of points generated by the algorithm can guarantee that the objective function of GOP problem is descent on its own set.Namely,the algorithm solving the generalized steady-state optimizing control problem is globally convergent.
Key words　Generalized steady state of industrial process, point-to-set mapping, Zangwill function, global convergence.
1　引言
　　针对工业过程广义稳态的优化控制问题(GOP)，文［1］给出了一种基于模型求解的广义稳态优化控制算法(AMOP)，并对仿真算例进行了数值计算.本文则根据Zangwill全局收敛理论［2］，对文［1］给出的迭代算法AMOP的收敛性进行了深入分析.为了运用Zangwill全局收敛理论，首先对设定点与广义稳态之间的点-集映射关系进行了严密恰当地定义.在此基础上，证明了工业过程广义稳态优化控制算法AMOP在满足一定的条件下，具有全局收敛性，即总能够选择一个适当的增益ε,使得由算法AMOP产生的解序列是可行的，它使目标函数在每一次迭代中均朝着减小的方向改变.
2　Zangwill全局收敛理论
　　为了引入Zangwill全局收敛定理，首先给出如下若干定义.
　　定义1［2，3］. 设A是集合X上的一个算法，ΓX是A的一个解集，称X上的连续函数Z(*)是A在X上的Zangwill函数，如果满足
　　1)若xΓ,y∈A(x),则Z(y)＜Z(x);　2)若x∈Γ,y∈A(x),则Z(y)≤Z(x).
　　定义2［3］.设A:X→Y是一个点-集映射，如果在点x∈X处，有xk→x,xk∈X;yk→y,ykY，使得y∈A(x)，则称点-集映射A在x∈X处是闭的；如果它在X中每一点是闭的，则称点-集映射A在X上是闭的.
　　定理1［2，3］(Zangwill全局收敛定理).设A是X上由一个点-集映射定义的迭代算法，给定初始点x0∈X,由算法A产生的序列｛xk｝∞k=0满足xk+1∈A(xk)，又设算法A的解集为ΓX.如果1)所有的xk均属于紧集SX，2)在X上存在一个Zangwill函数Z(．)，3)点-集映射A在点x∈X处是闭的，如果xΓ,则算法A的迭代运算要么停止在一个解∈Γ上，要么｛xk｝的任一收敛子列的极限是A的一个解.
3　广义稳态优化控制算法的全局收敛性
　　由定理1可知，一个迭代算法是否全局收敛，只须看该算法是否满足Zangwill全局收敛定理的三个条件.由于工业过程广义稳态优化控制问题GOP的复杂性，在进行迭代算法收敛性证明之前，还需引入如下两个引理.
　　引理1［3］.设A:X→Y是一个点-点映射，B：Y→Z是一个点-集映射，如果A在点x∈X处是连续的，B在A(x)处是闭的，则组合映射C=B．A在点x∈X处是闭的.
　　定义3［3］.设x∈X，称向量d∈X是在点x处的可行方向，如果存在一个＞0，使得

　　引理2［3］.(Luenberger最优性一阶必要条件).设S是X的一个子集，f∈C1是S上的一个函数，如果x是f在S上的一个极小点，那么对于任意的可行方向d∈X，则有f′(x)．d≥0.
　　定义4.设广义稳态优化控制算法AMOP产生的映射为A:
　　式中C是GOP问题的设定点容许集合.那么，映射A可进一步定义为
　　1)u:
　　　(1)
即对于vL∈C,寻找一个cL，使得cL∈c(vL)C;如果c(vL)是一个单点集时，则意味着对于v∈C,有一个c=c(v)C,从而在C×C上确定了一个点(v,c)；
　　2)根据广义稳态优化控制算法AMOP的第3步，即
vL+1=vL+εL(cL-vL)；　　　(2)
　　令τ≤εL≤B(v),τ＞0,其中B(v)是v的函数，从而有如下的点-集映射
　　　(3)
即对于给定的vL和cL，寻找一个vL+1，使得vL+1∈e(v)；
　　3)根据上述对映射u和w的定义可知，由算法AMOP产生的映射A是两者的组合，即

　　定理2.对于文［1］提出的工业过程广义稳态优化控制问题(GOP)，如果满足文［1］的假设1和假设2的条件，并且
　　1)设定点容许集合C=｛c∈Ri:D(c)≤0｝是紧集且是凸的，其中D:Ri→Rp;
　　2)q(．)关于c是可导的，并且在C上满足Lipschitz条件，即存在常数δ＞0，使得

式中‖．‖为欧氏范数；
　　3)在C上可导，并且在C上一致单调，即存在常数α＞0，使得则有
　　(i)如果选择
　　　(4)，(5)
那么，点-集映射A在C＼Ω上是闭的，其中ΩC是广义稳态优化控制算法AMOP的解集，即

　　(ii)由算法AMOP产生的解序列｛vL｝满足过程约束条件，并且使得GOP问题的目标函数满足　
　　证明.
　　(i)考虑映射u,由于C是紧集且是凸的，根据题设条件(3)，在C上一致单调，所以对于v∈C,c(v)是一个单点集，即有c=c(v)，因此u在C上是一个点-点连续映射；再考虑映射w，因为α＞0,v∈C，选择τ,β使满足式(5)，即
　　根据式(4)，得τ≤B(v)；另一方面，对于(v,c)∈C×C,c≠v，设
并记dL=cL-vL,则当L充分大时，有从而y=v+ε．d.
　　又因为根据式(3)，得y∈e(v).再由定义2可知，映射w在点(v,c)处是闭的；而v∈C,c∈C在C上是任意的，所以w在C×C上是闭的.
　　根据映射u的连续性和w的闭性，由引理1可知点-集映射A=w．u,　c≠v，在v∈C是闭的，亦即映射A：C　∈　v→A(v)∈2C在C＼Ω上是闭的.
　　(ii)根据题设条件(2)以及C的凸性，可得下面不等式［4］
　　　(6)
设vL∈C,vL+1∈C，则由式(2)和(6)，得
　　(7)
式中cL∈c(vL)，因为cL是MOP问题在给定vL∈C时的最优点，因此MOP问题应满足Luenberger最优性一阶必要条件(引理2)，即
