自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
2000　Vol.26　No.1　P.24-31



广义系统降阶正常观测控制器与双互质分解
高志伟
摘 要 首先讨论了真镇定带前通的广义系统的最小阶正常观测控制器的设计问题，然后基于降阶观测控制器，明确给出了广义系统双互质分解的一种新的状态空间实现. 相应的控制器参数化可以保证是因果的，因此本文的结果更具实际意义.
关键词 广义系统，真镇定，降阶观测器，双互质分解，稳定因式法.
REDUCEDORDER OBSERVERBASED CONTROLLERS AND DOUBLY COPRIME FACTORIZATIONS FOR SINGULAR SYSTEMS
GAO Zhiwei
(Department of Automation,Tianjin University,Tianjin 300072)
Abstract The design problem of minimal order observerbased controllers for properly stabilizing a singular system with direct control feedthrough term is discussed, and a design method is given. New statespace formulae of doubly coprime factorizations for singular systems are then presented explicitly. The resultant controller parameterization can be guaranteed to be proper (or causal), thus the results obtained in the present paper are more significant than the previous ones in control applications.
Key words Singular systems, properly stabilizing, reducedorder observers, doubly coprime factorizations, stable fractional approach.
1 引言
　　线性时不变连续广义系统的数学模型为
　(1)
分别表示系统的状态,控制输入和量测输出矢量;E∈Rn×n,rank(E)＜n;系统(1)是正则的，即(复平面); 矩阵D被称为前通项; 系统(1)的传递函数阵为

　　近年来，广义系统的研究受到了普遍关注［1］.成功用于多变量系统控制综合研究的稳定因式法［2］，已开始被用于广义系统的分析与综合. 文［3］建立了广义系统与稳定因式法的联系，并给出了广义系统双互质分解及控制器参数化的一般结构. 文［4］把文［3］的结果推广到了带前通的广义系统. 众所周知，双互质分解在稳定因式法用于系统综合控制的研究中起着十分关键的作用. 因此，如何构造双互质分解中的每一个元素，便成了一个重要的研究课题.对于广义系统，文［5］给出了双互质分解的一个状态空间实现. 然而，不难发现，文［5］的结果是基于广义观测控制器的设计［6］. 由于广义状态观测器的解除了依赖控制输入u和量测输出y之外，还依赖其有关微分项. 这些微分项， 特别是y的微分项，一般来说没有直接的量测，不能直接利用. 从这个意义上讲，广义状态观测器的物理实现尚有困难［1］.对于广义系统施加正常控制器，不仅是进行广义系统反馈设计的首先选择，同时也是控制应用的基本需要［7］. 因此，如何根据真镇定广义系统的正常观测控制器，给出更具实际意义的广义系统的双互质分解，正是本文工作的出发点.
2 真镇定降阶正常观测-控制器
　　为了使讨论有意义，本文通篇假设系统(1)是真能控且真能观的，即系统(1)是脉冲能控且脉冲能观，有限能控且有限能观的.
　　由文［4］可知，对于脉冲能控且脉冲能观的系统(1)，一定存在如下静态输出反馈控制器
　(2)
使下列相应的闭环系统是内部真（无脉冲模）的.
　(3)
其中　A(F)=A+BF(I-DF)-1C, uB(F)=B+BF(I-DF)-1C,
　　　C(F)=(I-DF)-1C, D(F)=(I-DF)-1D.
　　内部真的系统(3)可受限等价为
　(4)
这里
P和Q都是非奇异阵.
　　因为xf=-Bfv，则系统(4)可进一步描述为
　(5)
　　引理1. 若系统(3)是内部真的，则等价正常系统(5)中的输出矩阵Cs的秩是一个常数.
　　证明. 这个证明是构造性的，证明过程很长，限于篇幅，这里略去，有兴趣的读者可以参见笔者的研究报告［8］.
　　因为rank(CS)是一固定值，不失一般性，可令矩阵Cs的行是线性无关的，即rank(Cs)=p. 又由文［9］可知，在真能控且真能观的假设前提下，等价正常系统(5)是能控且能观的. 由Luenberger观测器设计理论［10］，可给出系统(5)的最小阶观测器的状态方程
　(6)
其中
R是稳定矩阵,　(7a)
TAs-RT=SCs,　(7b)
TBs-H=SDs,　(7c)
rank(Cs)=p,　(7d)
　(7e)
　(7f)
　　定理1. 真能控且真能观的广义系统(1)能被形如下式的降阶正常观测控制器真镇定,
　(8)
其中  其余符号的定义如前.
　　证明. 对于真能控且真能观的广义系统(1)，一定可以找到使闭环系统(3)内部真的静态输出反馈控制器(2)［4］，并可相应得到等价的内部真系统(4)和正常系统(5). 由文［9］又知，正常系统(5)是能控且能观的，则由Luenberger观测器设计理论，可设计形如式(6)的降阶正常观测器以估计系统(5)的状态.
　　用状态估计构造系统(5)的控制输入，即
　(9)
把式(9)代入式(6)中的微分方程，便可得到系统(5)的状态观测控制器
　(10)
把式(9)代入式(5)中的输出方程，可推出
　(11)
把式(9)和(11)代入式(5)中的微分方程，可得到
　(12)
把式(11)代入式(10)中的微分方程，并利用关系式(7a)～(7f),有
　(13)
综合式(12)和(13)，即系统(5)在降阶观测控制器(10)的作用下形成的闭环系统为
　(14)
令则对系统(14)做相似变换，并利用关系式(7f)有
　(15)
　　因为系统(5)能控且能观，则矩阵(As+BsFs)和R都可以设计成稳定矩阵，即系统(15)是渐近稳定的，系统(14)自然也是稳定的,也就是说系统(5)能被控制器(10)镇定. 由文［9］又知，系统(3)和系统(5)在控制器(10)作用下具有相同的有限特征根集合，因此控制器(10)必然镇定系统(3).
　　综上所述，由控制器(2)和(10)合并起来构成的组合控制器(8)，必能消除系统(1)的脉冲模，又能使相应的闭环系统渐近稳定，即控制器(8)真镇定广义系统(1).
　　评注1.
　　1) 在上面的分析中，要求det(I-DF)≠0和det(I+φDsFs)≠0. 事实上，集合｛F｜F∈Rm×p,det(I-DF)=0｝和｛Fs｜Fs∈Rm×ns,det(I+φDsFs)=0｝不是空集，就是超曲面，因此对于几乎所有的都能使det(I-DF)≠0和det(I+φDsFs)≠0成立.
　　2) 定理1的证明是构造性的，实际上给出了一个真镇定广义系统降阶正常观测控制器的设计方法，其基本设计思路就是：首先设计一个静态输出控制器以消除脉冲模，然后对等价的正常系统设计一个最小阶观测控制器，最后把两个控制器合并，构成一个组合控制器. 这里讨论的广义系统是带前通项的，因此得到的结果具有一般意义. 本节的工作可以看作是文［7］工作的推广.
　　3) 由关系式(7a)～(7f),可得R=TAsθ,S=TAsφ和H=T(Bs-AsφDs)，则真镇定控制器(8)的传递函数阵可写为
　(16)
　　4) 有了真镇定广义系统(1)的控制器(16)，便可以着手构造系统(1)的传递函数阵G(s)的双互质分解(即这里
分别是RH∞上的右互质对和左互质对，RH∞表示真且稳定的有理函数阵的集合）以及相应的Bezout恒等式. 本节的工作是下节工作基础.
3 广义系统的双互质分解
　　下面的引理对于证明本节的主要结果定理2是有用的.
　　引理2［4］. 如果D为非奇异方阵，则

引理3［4］.

引理4［4］. 若P和Q是非奇异常数阵，则

引理5［10］. 若B-1存在，则

　　定理2.假设广义系统(1)是正则，真能控且真能观的. 选择F∈Rm×p使得det(I-DF)≠0，并得到内部真的闭环系统(3)；选择非奇异阵P∈Rn×n和Q∈Rn×n得到等价的因果广义系统(4)和等价的正常系统(5)；选择Fs∈Rm×ns使得det(I+φDsFs)≠0且(sI-As-BsFs)-1∈RH∞；选择
而R的约束由式(7a)～(7f)描述；任选
定义
　(17)
　(18)
则
a) 由式(17)和(18)描述的所有传递函数阵都是真且稳定的,
b)和V(s)都是非奇异的,
c)
d) 的定义见式(16)，
　e) 式(17)和(18)中的元素满足如下Bezout恒等式
　(19)
证明.
a)因为则式(18)中描述的所有传递函数阵都是真稳定的. 观察
　(20)
因为(sI-R)-1∈RH∞，(sI-Λ)-1∈RH∞，且相似变换不改变系统的特征根集合，则由式(20)有(sI-φΛCs-AsθT)-1∈RH∞，从而，式(17)中描述的所有传递函数阵也都是真稳定的.
b)因为
　(21)
则根据引理2，存在. 然而，却不一定是非奇异的，所以引理2不再适用. 观察
　(22)
其中G(s)=C(sE-A)-1B+D.已知det(sE-A(F))0,det(sE-A)0，det(I-DF)-1≠0，则根据(22)可得出(I-G(s)F)-1存在. 从而有下面的推导,
　(由引理2)
　(由引理3和4)
　(由引理4)
　(23)
这里Ds=D(F)-CfBf.
　　由式(23)可得
　(24)
类似式(23)的证明，利用引理2～4，式(17)中的(s)可写成
　(25)
根据式(25)，则可推导
　(26)
即(s)是非奇异的. 同理，可证M(s)也是非奇异的.
　　c)利用引理2～4，式(17)中的(s)可写成
　(27)
使用式(23)，(24)，(25)和(27)，可容易得到
　(28)、
同样，类似可证N(s)M(s)-1=G(s).
d)因为V(∞)和均为非奇异方阵，则使用引理2～4，可证
　但这里略去繁琐的推导过程.
　e)利用引理5，有
　(29)
即是非奇异的，因此利用引理2，可证
　(30)
略去式(30)的具体推导，显然，式(30)与式(19)等价.
　　评注2.
　　1) 定理2引入了一个附加的稳定矩阵Λ，从而保证了双互质分解及Bezout恒等式中的所有元素都是真稳定的，因此本文的结果完全适用于稳定因式法.
　　2)根据定理2给出的双互质分解，就可相应阐述真镇定控制器的参数化
　(31)
　　只要自由参数Q(s)在集合｛Q(s)｜Q(s)∈RH∞,det(V(s)+N(s)Q(s))(∞)≠0｝或
中选取，便可保证式(31)描述的控制器集合是一类真的（或因果的）控制器. 因此，本文基于正常降阶观测控制器的结果，比文［5］基于广义观测控制器的结果更具实际意义.
4 结束语
　　本文给出了一个真镇定前通广义系统的降阶正常观测控制器的设计方法，并以此提出了广义系统双互质分解的新的状态空间实现. 本文的结果物理意义明确，完全适用于不带前通项的广义系统（令D=0）和正常系统（令E=I,F=0）.
国家自然科学基金资助课题(No.69874027).
高志伟 简介见本刊1998年第6期.
高志伟(天津大学自动化系 天津 300072)
参考文献
1，Dai L Y. Singular Control Systems, Berlin: SpringVerlag, 1989
2，Vidyasagar M. Control Systems Synthesis: A Factorization Approach, Cambridge. MA: MIT Press, 1985
3，Kucera V. Internal properness and stability in linear systems. Kybernetika,1986, 22(1): 1～18
4，高志伟. 广义分散控制系统结构性质与控制综合的研究［学位论文］. 天津:天津大学系统工程研究所,1996
5，Wang F Y, Balas M J. Doubly coprime fractional representations of generalized dynamical systems. IEEE Trans. Autom. Control, 1989, AC34(7):733～734
6，Gao Z W, Wang X L, Li G Q. Analysis for the Bezout identity of generalized systems. Trans. of Tianjin University, 1998, 4(1): 78～81
7，Ailon A. A reducedorder causal observerbased controller for singular　systems. Int. J. Systems Science, 1994, 25(1): 1～17
8，高志伟. 广义系统理论的稳定因式法研究［博士后研究报告］. 天津: 南开大学数学科学院,1998
9，高志伟，王先来，李光泉. 前馈广义分散控制系统的真镇定. 自动化学报，1998,24(6): 754～760
10，Chen C T. Linear Systems and Design, New York: Rinrhard and Winston, 1984
收稿日期 19980107 收修改稿日期 19990316
