自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
1997年 第23卷 第1期 Vol.23 No.1 1997



参数不确定系统的H∞估计问题的显式解和中心解
王正志　周宗潭　张良起
摘　要　研究在连续时间情形下的具有部分参数不确定性的系统的H∞状态估计问题，它可以被化简为带有一个自由可调参数对象的H∞状态估计，由此可得到滤波器的简洁通解显式.并进一步研究了H∞估计的中心解，以及它与卡尔曼滤波器的关系.实例计算表明，对于参数具有不确定性的系统，H∞滤波器的性能明显地优于卡尔曼滤波器.
关键词　鲁棒性，H∞估计，卡尔曼滤波.
THE EXPLICIT SOLUTIONS AND CENTRAL 
SOLUTION OF H∞ ESTIMATION PROBLEM FOR
UNCERTAIN PARAMETER SYSTEMS
WANG ZHENGZHI　 ZHOU ZONGTAN 　ZHANG LIANGQI
(Dept. of Automatic Control, National Univ. of Defense science and Technology, Changsha 410073)
Abstract　This paper is concerned with the H∞ estimation problem for linear continuous-time systems with part of parameters uncertainty. It can be simplified as a H∞ estimation problem for a plant with a free rejustable parameter. Thus the filter expressions are given in simple and explicit way. This paper is further concerned with the central filter of H∞ estimation, and its relations to Kalman filter. Simulation results show that the performance of H∞ filter is much better than Kalman filter for the systems with uncertain parameters. 
Key words　Robustness, H∞ estimation, Kalman filter
1　问题的提法
　　若线性系统的全部参数能准确知道，在已知谱密度的高斯噪声作用下，要从输出测量估计线性系统的内部状态，已由卡尔曼滤波方法解决.但在许多工程实际问题中，各噪声源的统计特性难以确定，甚至不是高斯噪声，而是有界能量噪声，这时可以采用H∞方法估计其内部状态.如果进一步考虑到对象模型参数具有不确定性，而仅知道它们各自在一定的区间内变动，问题就变得更为复杂.对于部分参数不确定的对象，在有界能量噪声影响下，如何进行状态估计，是此文的研究内容.
　　考虑连续时间域上的对象P的模型
=(A+ΔA)x+Bw,　　(1a)
y=(C+ΔC)x+Dw,　　(1b)
z=Lx　　(1c)
其中x∈Rn是状态，w∈Rm是噪声，y∈Rr是输出测量，z∈Rp是要估计的状态组合.A，B，C，D 和L 是已知的实数矩阵，各为n×n,n×m,r×n,r×m 和p×n维，它们是标称对象的全部参数.假设A是稳定矩阵，(1)式中ΔA和ΔC表示对象参数的不确定性.假设
　　　(2)
其中H1,H2 和E分别为n×b1,r×b1,b2×n维的已知矩阵，它们反映不确定参数所处的位置和变化幅度.而b1×b2维的未知实矩阵F在单位球FTF≤I中变动，从而引起ΔΑ和ΔC的变化.
　　设计估计状态组合z的滤波器Q：
e=Aexe+Key,　　(3a)
ze=Lexe　　　(3b)
其估计误差为e=z-ze.对象P和滤波器Q组成的系统，其状态方程可紧凑地写为
=(Ac+HcFEc)ξ+Bcw,　　　(4a)
e=Ccξ.　　(4b)
其中


　　　(5)
于是从噪声w到估计误差e的传递函数为
T(S)=Cc［SI-(Ac+HcFEc)］-1Bc.　　　(6)
对于小正数γ，定义H∞估计问题
‖T(S)‖∞＜γ,　　　(7)
即要设计滤波器Q，使得对于各种有界噪声w，均有较小的估计误差e.
　　由于T(S)中含有未知矩阵F，造成处理上的困难，为了克服此困难，考虑带有正参数δ的对象Pδ：
　　　(8a)
　　　(8b)
　　　(8c)
其中新的有界噪声∈Rm+b1,输出∈Rp+b2,采用(3)式的滤波器Q，并且用
　　(9)
来估计的输出,所产生的估计误差为
　　　(10)
带参数δ的对象Pδ和滤波器Q组成的系统，可紧凑地写成
　　(11a)
　　(11b)
其中
　　　(12)
从有界能量噪声到估计误差的传递函数为
　　　(13)
采用类似于文献［9］定理1的证明思路，有如下定理.
　　定理1.若存在一个正数δ，使得Pδ被滤波器Q估计的误差传递函数Tδ（S）满足
　　　　(14)
则对于原来的参数不确定对象P，该滤波器Q产生的估计误差传递函数T(S)满足(7)式.
2　问题的通解
　　定理1表明，解决了带有正参数δ的对象Pδ的H∞估计问题(14)，就可以保证原来的参数不确定对象P的H∞估计精度(7).(14)式可在H∞标准控制问题的框架中求解.H∞标准控制问题一直是H∞控制的核心问题，经过许多控制学者的努力，已有多种解法［1－4］，但多数解法步骤复杂，解式与对象的状态空间表示矩阵的关系不直观.此文采用我们近年来推导的公式写出通解，十分简洁，与对象的原始表达式的关系非常直观.由于推导过程比较复杂，本文仅在下述引理中直接给出结果，其推导过程可参阅文献［8］．
　　引理　广义对象
　　　(15)
的H∞标准控制问题，在D11=0,D22=0，以及D12满列秩，D21满行秩的情形下，可按如下步骤求解.首先分别求出Riccati方程
　(16)
　(17)
的镇定解X≥0，Y≥0.再设
　　(18a)
　　(18b)
　　(18c)
　　(18d)
　　(19)
由此可以写出H∞标准控制问题的通解
　　　(20)
(14)式所对应的广义对象(15)式为
B1＝［γ-1B　δ－1H1］，B2＝0，
　　　　　　C2＝C，
D11＝0，　　　　　　　　　
D21＝［γ－1D　δ－1H2］，D22＝0．
把以上诸式代入引理的(16)―(20)式，得出下面的主要结果.
　　定理2.对于参数不确定对象P，若在(1)和(2)式中，A是稳定矩阵，［γ－1D　δ－1H2］具有满行秩.分别求出如下两个Riccati方程：
　　(21)




　　(22)
的镇定解X≥ 0,Y≥0.如果有
　　(23)
则带有正参数δ的对象Pδ的H∞估计问题(14)有解，从而参数不确定的对象P的H∞估计问题(7)也有解，其H∞滤波器的通解为
　　(20)
其中
　　
　　　　(24)
而BHp×γ∞是Hp×γ∞空间中的单位球.
3　中心滤波器及其与卡尔曼滤波器的比较
　　(24)式中，对于所有在BHp×γ∞中的Φ，得到的滤波器Q都满足H∞估计精度要求(7).在所有这些滤波器中，中心解给出的中心滤波器Q0最值得注意.令(24)式中Φ＝0，得到中心解，由此得到H∞中心滤波器Q0为



　　　　(25)
特别对于参数确定的对象，在(2)式中有
H1=0,　H2=0,　E=0
于是Riccati方程(21)的解为X=0，而Riccati方程(22)为

0．　　(26)
所以参数确定的对象的H∞中心滤波器为

　　　　(27)
　　为了把H∞中心滤波器与卡尔曼滤波器进行比较，在参数确定的对象模型(1)中，ΔA=0,ΔC=0，假设w为零均值高斯白噪声，其协方差阵为
E［w(t)wT(τ)］=Rδ(t-τ),　　　(28)
其卡尔曼滤波器为

　　　　(29)
其中Y1满足Riccati方程

　　　(30)
把参数准确的对象的H∞中心滤波器(27)与卡尔曼滤波器(29)相比较发现：若认为
R=γ－2I，　　　(31)
两者就非常相似.唯一的差别是Riccati方程(26)比Riccati方程(30)多了一项YLTLY.不难看出Y≥Y1.在γ充分大时，(26)式中CT(Dγ－2DT）－1C>>LTL.这时可以略去LTL，从而(26)式变为(30)式.故在γ充分大时，H∞中心滤波器就变为卡尔曼滤波器.
表1　H∞中心滤波器与卡尔曼滤波器的比较

　卡尔曼滤波器
(对象参数准确)H∞中心滤波器
(对象参数准确)H∞中心滤波器
(对象参数具有不准确性)
外推率AA(A+(γ-2BBT+δ－2H1HT1)X)
新息Y-CY-CY-(C+γ-2DBTX+δ－2H2HT1X)
新息增益(BRDT+Y1CT）（DRDT）-1(Bγ－2D+YCT）(Dγ－2DT）-1(I-YX)-1(γ-2BDT+δ－2H1HT2+YCT）
(γ-2DDT+δ－2H2HT2)－1


4　实例与结论
　　用一个实例，比较H∞滤波器与卡尔曼滤波器的性能.若参数不准确对象为



若我们希望H∞滤波器的精度(7)达到γ=0.1，取自由参数δ=1，由Riccati方程(21)和(22)解出


由(25)式给出H∞中心滤波器为

而由(30)和(29)得到卡尔曼滤波器为

　　在常值干扰下(即w为单位阶跃)，比较二者的滤波估计性能.图1表示对象参数完全准确的情形(F=0)，这时卡尔曼滤波器是最优滤波器，估出的曲线(c)几乎与真实状态(a)完全重合；而H∞中心滤波器的估计(b)与真实状态(a)略有差别，但估计误差小于γ=0.1.



图1　对象参数完全准确的情形(F=0.0)
(a) 真实状态　(b) H∞中心滤波器的估计　(c) Kalman滤波器的估计
　　图2表示对象的部分参数不准确的情形(F=1.0)，这里a11由-1.0 变为-0.6，C1 由1.0 变为1.4.这时卡尔曼滤波器的估值曲线(c)与真实状态(a)之间发生巨大的偏差；而H∞中心滤波器的估值曲线(b)则与真实状态(a)几乎重合在一起，估计误差小于γ=0.1.



图2　对象的部分参数不准确的情形(F=1.0)
　　图3表示对象的部分参数不准确的另一种情形(F=-1.0)，这里a11由-1.0变为-1.4，c1由1.0变为0.6.这时卡尔曼滤波器的估值曲线(c)与真实状态(a)也发生很大偏差；而H∞中心滤波器的估值曲线(b)与真实状态(a)相当接近，估计误差小于γ=0.1.


图3　对象的部分参数不准确的另一种情形(F=-1.0)
　　总之，在对象参数具有不确实性时，本文给出的H∞滤波器的性能明显优于卡尔曼滤波器.本文推导的H∞中心滤波器，形式简洁，性能优越，可望在实际控制工程中得到广泛应用.
作者简介：王正志　1967年毕业于哈尔滨军事工程学院自动控制专业.1981年至1984年在美国Rice大学电气工程系进修，并获得博士学位.现任国防科技大学教授和博士导师.研究领域为飞行器控制，智能控制和遥感技术.
　　周宗潭　26岁.1994年毕业于国防科技大学自控系，获得硕士学位.现为国防科技大学自动控制系博士研究生，攻读博士学位.
　　张良起　毕业于上海交通大学电机系，曾任国防科技大学校长，现为国防科技大学自控系教授和博士导师.研究领域为飞行器控制，武器装备自动化和智能机器人等.
作者单位：国防科技大学自控系　长沙　410073
参考文献
［1］　Doyle J C, Glover K, Khargonekar P,Francis B A. State-space Solution to Standard H2 and H∞ Control Problem.IEEE Trans. Automatic Control, 1989, 34(8):831-847.
［2］　Glover K, Doyle J C. State-space formulae for all stabilizing controllers that Satisfy an H∞ norm bound and relations to risk sensitivity. System and Control Letters, 1988, 11:167 -172.
［3］　Kimura H, Lu Y, Kawatani R. On the Structure of H∞ control systems and related extensions. IEEE Trans. Automatic Control, 1991, 36(6):653-667.
［4］　Francis B A. A Course in H∞ Control Theory. Springer Verlag. 1987. 
［5］　Nagpal K, M, Khargonekar P. Filtering and smoothing in an H∞ setting . IEEE Trans. Automatic Control, 1991, 36(2):152-166.
［6］　Shaked U. H∞ minmum error state estimation of Linear Stationary Processes. IEEE Trans. Automatic control, 1990, 35(5):554-558.
［7］　Xie L, De Souza C E, Fu M. H∞ Estimation for discrete-time linear uncertain systems. International Journal of Roboust and Nonlinear Control, 1991,1(2):111-123.
［8］　王正志，周宗潭.状态空间中标准 H∞问题的直接求解公式.中国控制会议论文集，1994，146-150.
［9］　王正志，部分参数不准确的线性系统的鲁棒性控制，自动化学报，1995，21(4)：455-459.
收稿日期：1994-10-17
