自动化学报
ACTA AUTOMATICA SINICA
1997年 第23卷 第1期 Vol.23 No.1 1997



最优鲁棒解析余度设计方案研究
颜东　张洪钺
摘　要　利用广义特征结构理论求解最优鲁棒性能指标，来获得奇偶向量.采用了非线性滤波估计传感器的误差，再补偿奇偶向量，实现了用常值门限进行故障检测；提出了均值检验法(MVT)分离故障的最优性能指标，由此求解分离故障的检测量，并用于冗余捷联惯导系统的故障检测与分离.
关键词　最优鲁棒解析余度，均值检验，广义似然比检验，非线性滤波，捷联惯性导航系统.
DESIGN OF OPTIMAL ROBUST
ANALYTLCAL REDUNDANCY
YAN DONG　ZHANG HONGYUE
(Department of Automatic Control, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083)
Abstract　In this paper, a new method of calculating parity vector is proposed. First, a performance criterion for robust fault detection is given. By using the theory of Generalized Eigenstructure, the criterion can be solved to obtain optimal redundancy relation for the system detection. An optimal isolation performance criterion and Mean Value Test method(MVT) is also proposed. The parity vector can be compensated by using non-linear filtering, and the parity vector compensation approach can reduce the influence of sensor errors such as input misalignments, scale factor errors, and biases, and allow to use a constant threshold. When only one sensor fails, both GLT and MVT method can detect and isolate the failure correctly; When more than two sensors fail simultaneously, GLT method can detect the failures,but can not isolate the failures. However, MVT method can not only detect failures but also isolate failures. 
Key words Optimal robust analytical redundancy, mean value test, general likelihood test, non-linear filtering, strapdown inertial navigation system.
1　引言
　　奇偶空间方法已被广泛用于故障检测与隔离［1－6］.在文献［1］中，提出了奇偶向量的求取方法.该方法只有在传感器具有特定的对称结构时，传感器的故障对检测量的贡献能力相同，即满足故障检测的均匀性［7］，因而Potter算法的应用受到了限制.本文提出了对传感器的安装结构没有特定要求的新的求取奇偶向量的方法，并采用非线性滤波估计传感器的误差，来对奇偶向量进行补偿.提出了检测故障与分离故障的均值检验方法.当两个或更多个传感器同时出现故障的时候，仍然可以正确检测与分离故障.
2　最优鲁棒解析余度设计方法
　　设惯性元件有n个传感器，并且没有传感器误差而仅有附加的噪声序列η，则测量方程为
m=Hω+η.　　　　(1)
其中，ω是真实的状态；H是n×3维的传感器几何矩阵.H的n行包含了n个传感器轴方向的方向余弦.当故障发生时，测量方程改变为
m=Hω+Bbf+η.　　　(2)
当第k个传感器出现故障时，则B的第k个对角元为1，而其余元素为0.为了检测故障，要求选择v矩阵
vH=0,　　　　(3)
v是(n-3)×n维的正交投影阵，此时的奇偶向量变成
p=vm=vBbf+vη．　　　(4)
其中p是一个(n-3)维的奇偶向量.
　　文献［1］提出了求取奇偶向量的方法，但只适用于传感器的配置结构具有特定的对称性的情况，此时［7］
　　　　(5)
hi,hj表示测量阵H的第i行，第j行.很多情况下这种特殊的对称性并不满足，即使理论上满足了这种安装模式，由于传感器包含了诸如输入轴不准，刻度因子以及偏倚等误差，也将使这种特定的对称性被破坏，这样会直接影响FDI的性能，所以，这里提出了最优鲁棒解析余度的设计方法.所谓最优鲁棒解析余度关系是指，由最优鲁棒解析余度所生成的残差对系统状态的变化最不敏感，而对故障的变化最为敏感［8］.由公式(4)可知，要使设计的奇偶向量对系统状态的变化最不敏感，应使vH尽可能地小；同时，为了能对故障最敏感，而使vB尽量大，为此提出下面的性能指标
　　　(6)
这个性能指标是两个二次型的比值，由文献［8］提出的正交投影向量的求取方法，(6)式的解可写成
　　　(7)
其中，λ是矩阵束HHT-λBBT的特征值，vT是对应的特征向量，它可以通过MATLAB中的函数计算.采用(7)式中最小特征值对应的特征向量vT作为正交投影矩阵，进而可以获得奇偶向量p=vm.
3　故障检验与分离的均值检验方法
　　设X1，X2，…，Xn是从正态母体N(μ，σ20)中抽取的一个子样，其中σ20是已知常数，检验假设H0(μ＝μ0），采用(8)式的统计量进行均值检验［9，10］.
　　　(8)
对给定的显著水平α，查正态分布表即可求取检验门限.其判决函数为
　　　(9)
对于奇偶向量p可以作如下的统计检验：
　　　(10)
其中σvη是vη的均方根值，k表示第k个采样时刻.再按判决函数(见(9))便可以对(10)进行故障检测.通常的均值检验方法，只能检测故障，却无法分离故障，这里作者提出了一种新的分离故障的方法.
　　由(4)式可知，故障时刻的奇偶向量的均值为
Ep=EvBbf+Evη=vBbf.　　　　(11)
k号传感器发生故障时，则有Ep=v(k)bf(k),v(k),bf(k)分别为正交投影矩阵v和故障向量bf的第k个元.做均值检验应该使v(k)bf(k)尽可能的大，提出性能指标如下［11］：
　(12)
　　(12)式表明，由此正交投影向量产生的奇偶向量不包括第k个传感器的测量值，而对第l个传感器的敏感程度已经设定，并且，对除第k个传感器之外的传感器故障最敏感.ek是第k个元素为1，其余元素为0的行向量.
　　在事先不能确定哪一个传感器为故障传感器的时候，将k依次取为1，2，…，n,按照上式，共可以求出n个分离故障的正交投影向量，它们分别是v1,v2,…vn，按此n个正交投影向量分别求取n个奇偶向量，它们分别是p1,p2,…，pn，再同时对n个奇偶向量进行故障检测与故障分离.
　　由(12)式，根据拉格朗日常数法可以得到
　　　(13)
对J求偏导数，并令其为0，再令All＝eTlH(HTH)-1HTel,Alk=eTlH(HTH)-1HTek,Akk=eTkH(HTH)-1HTek,Akl=eTkH(HTH)-1HTel,可求得



　　(14)
当第k个传感器出现故障时，不包括第k个传感器测量值的奇偶向量的数学期望为Epk＝Evkm=Evkη=0，由此可见，如果只有第k个传感器出现故障，n个残差中只有一个残差不包括故障项，而其它的残差都包括故障项，这样其余(n-1)个残差就可以通过均值检验检测出有故障，而不包括第k个传感器的残差检测的结果为无故障.由于在进行故障分离之前，已经检测出系统中出现了故障，便可判定没有被包含的传感器出现了故障.
　　如果按照上述方法仍然无法确定故障源的话，则说明至少两个传感器出现了故障，可设定分离两个故障时的正交投影向量的性能指标为
　　(15)
　　上述性能指标的含义为由(15)式产生的奇偶向量不包括第k个和第l个传感器的测量值，这样按(15)式就可以确定n(n-1)/2正交投影向量，并得到n(n-1)/2个奇偶向量.
　　按类似的过程，可对两个以上传感器同时出现故障的情况进行故障检测与分离.
4　奇偶向量的补偿
　　文献［12］和文献［13］分别提出用卡尔曼滤波方法和偏差分离估计的方法对奇偶向量进行补偿.但由于奇偶向量是系统状态与传感器误差的非线性函数，这样卡尔曼滤波的应用受到了限制，而在采用偏差分离估计方法的时候，算法的收敛性是很难保证的.
　　为了提高FDI的性能，这里采用了非线性滤波来估计传感器的误差，并对奇偶向量进行补偿.
　　通常测量方程可以表达成
m=(I+Hse)(H+Hme)ω＋b+η.　　(16)
其中H是n×3维的几何矩阵，Hse是由于传感器刻度因子误差引起的n×n维矩阵，Hme是输入轴不准引起的n×3维误差矩阵，b是n×1维的传感器的常值偏倚，η是n×1维的白噪声.其中Hse，b,η表达式参见文献［11］.由于系统的安装误差模型比较复杂，其解析表达式应视具体的安装方案而定.
　　系统的状态变量可以选取为
　　　(17)
其中Hsei,Hme(i,j),bi 分别表示Hse, Hme和b的诸元素，由此可见方程(16)是非线性的.
　　系统方程可以表示为
x(k+1)=x(k)+g(k),　　　(18)
其中　g(k)=［g1(k),g2(k),g3(k),0,…,0］T，gi(k)(i=1,2,3)是高斯白噪声.
　　通过对方程(16)和(18)所组成的测量方程和系统方程进行非线性滤波，可以得到ωi,Hsej,Hme,bj(i=1,2,3,j=1,2，…n)的估计值，，
