信息与控制
INFORMATION AND CONTROL
1999年 第28卷 第2期 Vol.28 No.2 1999



基于控制器参数化的渐近跟踪与静态解耦*
王德进
　　摘要　应用使闭环系统达到内稳定的控制器参数化结果和消除系统稳态误差的内模原理,讨论了MIMO系统渐近跟踪向量值阶跃参考信号及其静态解耦问题.通过选择控制器中的自由参数矩阵,对参考信号做内模配置,实现了MIMO系统的渐近跟踪与静态解耦.最后,给出具体算例,说明方法的有效性.
　　关键词　控制器参数化，内模原理，渐近跟踪，静态解耦
ASYMPTOTIC TRACKING AND STATIC DECOUPLING
BASED ON CONTROLLER PARAMETRIZATION
WANG Dejin
(Department of Automatic Control and System Science, Heilongjiang University,Harbin, 150080)
　　Abstract　The problem of asymptoticaly tracking vector-valued step reference signal and static decoupling for MIMO system is discussed,applying the internal stability controller parametrization of closed-loop system and internal principle of eliminating system error.By selecting the free parameter matrix of the controller, and making the the internal assignment to reference signal,asymptotic tracking and static decoupling is realized.Finally,an example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.
　　Key words　Controller parametriztion, Internal principle, Asymptotic tracking, Static decoupling
　　1　引言
　　Youla等人［1］提出的保证闭环系统内稳定的控制器参数化结果,在近代频域控制理论中起着非常重要的作用\[2\]并有着广泛的应用.如利用这一结果可实现闭环系统各种性能(∞-范数性能,2-范数性能、鲁棒性能、渐近性能等)设计[3].H∞控制理论中,控制器参数化方法起着非常重要的作用[4].众所周知,传统的系统输出渐近跟踪参考输入的设计方法是将参考信号的不稳定模式引入回路中,并设计控制器镇定系统[5].参考信号不稳定模式在回路中的复现,通常称之为内模原理.本文将利用使系统内稳定的控制器参数化结果,对控制器中的自由参数做插值限制,来实现内模原理,达到对参考信号渐近跟踪的目的.另一方面,MIMO系统的解耦控制是多变量系统控制所追求的一个目标.我们将看到,利用控制器参数化方法实现对向量值阶跃参考信号渐近跟踪的同时,也完成了静态解耦(t→∞时的解耦).
　　2　渐近跟踪与静态解耦
　　考虑图1所示MIMO单位反馈系统.设对象传递矩阵控制器C(s)∈Hn×m,Hm×n表示m×n维正则实有理矩阵.参考信号,其中d是任意m×1常值向量,即r(t)是各分量幅值不同的阶跃函数.

图1　MIMO单位反馈系统
　　令从r到y的传递矩阵为,从r到e的误差传递矩阵为.若反馈系统内稳定,应用拉氏变换终值定理,有
　　　　　　　　(1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
　　定义1　(1)若式(1)中的,则称反馈系统实现了对的渐近跟踪.(2)若式(2)中的是对角和非奇异的,特殊情况下是一单位阵,则称反馈系统是静态解耦的.
　　注　以上只对阶跃参考信号定义了反馈系统的渐近跟踪与静态解耦.阶跃参考信号在实际问题中是常遇到和重要的.
　　引理1［4］　将对象传递矩阵作双互质分解,即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
其中8个矩阵均属于RH∞.则使稳定的所有正则有理控制器C(s),可用如下参数化公式表示
　　　　　　　　　　　　　　　(5)
其中Q∈RH∞,且
　　由引理1,我们有
　　　　　　　　(6)
　　由定义1和式(6),为实现渐近跟踪,我们得到如下关于参数Q的插值约束矩阵方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
其中N(0)-m×n维常值矩阵,X(0)-m×m维常值矩阵,Q(0)-n×m维未知常值矩阵.若记
为转置符号.则式(7)矩阵方程等价于m个线性代数方程组
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)
　　引理2　如果对所有i=1,2,…,m,有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)
则存在满足式(7)插值约束的Q(s)∈RH∞.
　　证明　令Q(s)=X(s+1)-1,其中X-n×m维待定常值矩阵.这保证了Q(s)∈RH∞且有Q(0)=X.于是Q(s)=Q(0)(s+1)-1.如果式(9)秩条件成立,则m个线性代数方程组式(8)有解,即矩阵方程式(7)有解Q(0).故参数矩阵Q(s)=X(s+1)-1=Q(0)(s+1)-1满足式(7)插值约束且Q(s)∈RH∞.证毕
　　定理1　对于图1所示的反馈系统,利用引理1给出的控制器参数化结果
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10)
如果由引理2可以解得参数矩阵Q(s)∈RH∞,则式(10)参数化形式的控制器,使得反馈系统是内稳定的并且实现渐近跟踪与静态解耦.
　　证明　内稳定性是显然的.
　　若参数矩阵Q(s)按引理3给出的方法进行选择,则由式(1)和式(6),有

即反馈系统实现了渐近跟踪.
　　由于或,于是,从r到y的传递矩阵为

令s→0,有,由定义1,反馈系统是静态解耦的.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证毕
　　注　由式(10),我们看到,关于参数Q(s)的插值约束矩阵方程式(7),实际上是将向量值阶跃参考输入的不稳定极点(s=0)引入控制器中,即熟知的内模原理.另外,从以上定理证明过程可看出,反馈系统实现了渐近跟踪,实际上也就完成了静态解耦.
　　3　实例
　　例　给定2×2维对象传递矩阵

采用状态空间方法求P(s)的互质分解.求得P(s)的一个最小实现为,其中

选择F使AF=A+BF的特征值为{-1,-1,-1},则可得

选择H使AH=A+HC的特征值为{-1,-1,-1},则可得

于是,可求得


令s=0,得

矩阵方程N(0)Q(0)=X(0),因detN(0)=-4≠0,有解
　最后,求得控制器

其中
Cd=2s6+20s5+79s4+171s3+209s2+133s+34
C11=7s6+81s5+347s4+802s3+1096s2+880s+290
C12=8s6+107s5+534s4+1424s3+3242s2+969s+656
C21=s6-17s5-207s4-571s3-664s2-180s-472
C22=12s6+41s5-24s4-404s3-1062s2-1237s-478
我们看到C的每一元素均含有项(1)/(s) ,即实现了对阶跃参考信号的内模配置.故所设计的控制器可完成对向量值阶跃参考信号的渐近跟踪,进而反馈系统也是静态解耦的.
　　4　结束语
　　本文利用稳定的控制器参数化结果,根据系统渐近性能设计中的内模原理,通过求解关于参数Q(s)的插值约束矩阵方程,将参考信号的不稳定极点引入控制器中,实现了反馈系统的对向量值阶跃参考信号的渐近跟踪和输入输出间的静态解耦.
*黑龙江自然科学基金（F9717）资助项目。
作者简介：王德进，男，42岁，副教授．研究领域为最优控制，鲁棒控制和H∞控制等．
作者单位：黑龙江大学自动化系　哈尔滨　150080
　　参考文献
　1　Youla,D.C.et al.Modern Weiner-Holp Design of Optimal Controllers-partⅡ:Themultivariable case.IEEE Trans.Auto.Control,1976,AC-26:301～320
　2　张卫东,孙优贤.频域控制理论的发展及其取得的成就.控制与决策,1996,11(2):242～249
　3　J.C.多伊尔等著,慕春棣译.反馈控制理论.北京,清华大学出版社,1994
　4　解学书等著.H∞控制理论.北京,清华大学出版社,1994
　5　陈启宗著.线性系统理论与设计.北京,科学出版社,1988:380～395
1997-03-25收稿
