信息与控制
INFORMATION AND CONTROL
1999年 第28卷 第2期 Vol.28 No.2 1999



区域极点约束下的具L2有界不确定性
系统鲁棒优化设计问题*
范颖晖　陈善本　张福恩　柴天佑
　　摘要　研究了具L2有界不确定性系统鲁棒最优设计(LQL)中满足极点约束的加权阵的选取问题．首先建立鲁棒最优极点配置区域，然后给出加权阵的构造性公式，实现了一定稳定裕度下的鲁棒性优化设计．最后举例说明该方法的有效性．
　　关键词　L2有界不确定性，加权阵，鲁棒最优区域极点配置
ROBUST OPTIMAL DESIGN OF THE SYSTEM WITH L2 BOUNDED
UNCERTAINTY UNDER REGIONAL POLE CONSTRAINT
FAN Yinghui　CHAI Tianyou
(Automation Research Center Northeastern University 　110006)
CHEN Shanben
(Dept.of Control Engineering,Northeastem University)
　ZHANG Fuen
(National Key Laboratary of Advanced Welding Production Technology,Harbin Institute of Technology,150001)
　　Abstract　The paper investigates the selection of weight matrix in LQL index for optimization of uncertain systems with L2 bounded uncertainty while satisfying the regional pole constraint.Based on the given robust optimal pole placement region,the constructive equation for the weight matrix Q is presented.In this case,the robust optimal design is achieved with the stability margin.The illustrative example demonstrates the effectiveness of the method.
　　Key words　L2 bounded uncertainty,weight matrix,robust optimal regional pole placement
　　1　引言
　　时域具L2有界不确定性系统的LQL设计虽具有鲁棒最优设计的优点[1],但对设计的稳定裕度从频域的观点没有给出明确的描述，实际上稳定裕度与二次指标中的加权阵有着较复杂的关系．因为设计中加权阵常要通过反复试探来确定，增加了设计的难度，所以如何保证设计的稳定裕度并据此给出较为明确的加权阵选取依据是鲁棒最优控制理论中的一个重要问题．与此相比,频域极点配置法直接控制闭环极点，能够给出明确的设计稳定裕度．又对于给定结构的反馈控制器还能提供其它的设计自由度,这可被用来与LQL设计相结合以实现一定稳定裕度下的鲁棒性优化设计．针对不确定性因素的存在,本文研究区域极点约束下的LQL设计问题,实质上也就是探讨时域LQL设计与频域设计的内在联系．
　　2　问题描述
　　对于如下系统
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
设(A,B1),(A,B2)可控，(A,C)可观,不确定性为L2有界，考虑极点配置区域如图1所示的圆域C(q,r)，这不仅因其数学上处理起来相对容易,且可给出阻尼ξ的下界和谐振频率ωn、阻尼振荡频率ωd的范围[2]，即
　　为实现区域极点约束下的鲁棒优化设计，在此提出如下相关问题.


图1　圆域C(q,r)
　　问题1：区域配置极点为LQL设计意义下的最优极点所应满足的条件．
　　问题2：L2有界不确定性对区域配置极点的影响．
　　问题3：如何选取加权阵Q使优化如下二次型性能指标的最优策略(u*,v*)保证系统的闭环极点被置于圆心位于负实轴上的左半平面的圆域C(q,r)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
　　3　主要结果
　　对系统(1)，其中，选择如(2)所示的二次性能指标，若存在正定阵P=PT和常数η＞0,满足如下方程组
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

则此时最优控制、最坏扰动分别为[1] u*=-BT1 Px=Kux,v*=η-1BT2Px=Kvx
　　定理1　设u=Kux,则其为系统(1)优化(2)式指标的最优控制律的频域必要条件为
　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
令λ0i为开环极点，若
　　　　　(5)
则λci,j=1,2,…,n为LQL设计意义下的闭环最优极点．
　　参考文[5]可直接得证，此处略去．该定理为选择合适的极点配置区域以保证最优控制律的存在提供了重要的依据，设计中将其与指标要求结合从而确定最优极点配置区域．
　　引理1[3]　设A可对角化,即为矩阵谱范数\[4\]，又设E∈Cn×n，若为A+E的特征值，则对λi有，其中k(S)是条件数．
　　在LQL设计中，系统的内摄动与外干扰被规一为L2有界不确定性\[6\]，即当系统仍能保持稳定时，性能的变坏可能一部分来自内摄动，一部分来自外干扰．对于问题2，不影响系统结构的外干扰可不讨论，而只需考察L2有界内摄动．为此可如下描述系统
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)
其中ΔA为L2有界摄动．由此，针对问题2，我们有如下定理．
　　定理2　对初态x0、干扰v且内摄动为L2有界的系统(6)，若存在优化式(2)的最优策略(u*,v*)，则闭环矩阵为Ac=A－B1Ku,其极点所在圆域半径因L2有界摄动的存在将最大增大
　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，Π是只有对角线上方元素值非零且为1的方阵，k(S)=‖S‖‖S-1‖,supΔA‖Δ‖=为摄动的L2范数界．
　　证明　当存在如式(2)二次型性能指标的最优策略(u*,v*),即u*=－Kux时，系统的闭环方程为为闭环矩阵的摄动．利用引理1可得
　　　　　　　　　(8)
设圆域C(q,r)的圆心为c0=-q，则有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)
上式表明当考虑圆域极点约束时，L2有界内摄动将使极点所在园域的半径最大增大rv．再考察，因这里考虑的是L2有界内摄动，它并不破坏闭环系统的渐近稳定性[6]．令

则，且其满足Lyapunov方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10)
将代入式(10)，则可得
　　　　　　　(11)
又，进一步得,当考虑闭环极点约束区域为圆域C(q,r)时，从前述可得，与式(8)及式(9)相结合，则定理得证．
　　定理2表明当考虑圆域极点约束时，L2有界内摄动将使极点所在圆域的半径最大增大rv，若适当减小设计圆域的半径，即令rc=r-rv，然后配闭环极点于C(q,rc)，则最终可保证系统闭环极点在L2有界内摄动的存在下仍属于C(q,r)，从而实现鲁棒最优区域极点配置．
　　引理2[2]　设q≥rc＞0,令α=q-rc,Acα=Ac+αIn,则,当且仅当对V=VT≥0,存在唯一的PL≥0满足
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)
当(Ac ,V1/2)可观时，PL＞0．
　　定理3　对系统(6)，令，P是式(3)的正定解，V是由设计要求而选的正半定阵，且(Ac ,V1/2)可观，构造Q，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)

则优化式(2)指标的最优控制律u=Kux=-BT1Px，可使系统闭环极点位于圆域C(q,rc)．
　　证明　由文\[1\]中的结论可知，代入式(3)中的ARE，得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(14)
同时(12)式又可表示成
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15)
注意到式(14)与式(15)之间的相似性及式(15)解的唯一性，可如下构造式(14)中的加权阵Q
　　　　　　　　　　　　　　　　(16)
若Q≥0，则式(14)与式(15)具有相同解P=PL．此时问题3转化为：如何选取待定参数η使Q≥0．
　　为此令，对角化Q得
　　　　　　　　　　　　　(17)
　　(1) 当ΛL-Λ1＞0 时，要使Q≥0，则η-1≤σmin，[ΛL-Λ1]/σmax[Λ2]
　　(2) 当ΛL-Λ1=0 时，若Λ2＞0，即Q2非奇异，问题无解；若Λ2=0，即Q2奇异，此时设Λ2对角线上的元素为对角线上的元素为λi,j=1,2,…,n，其中有m个为零：λ={λ1，i1,λ2,i2,…,λm,im}，i1,i2,…,im分别为它们在对角线上所处的位置序号．若，要使Q≥0，则，其中为非零最小特征值．若∈{i1,i2,…,im}，则问题无解．问题无解时可适当修改V．定理得证．
　　4　算法与举例
　　STEP1 对误差量ε、迭代步长Δ赋值,初选Q(0)，V(0)，取η-1(0)为一任意小的正数，初始化i=1；
　　STEP2 解式(3)的ARE得P(i),求,问题有解时得supη-1(i)，否则修改V；
　　STEP3 解式(3)得U(i)，检验σmax[U(i)]-δ2/δ20＜ε成立否？是，迭代结束，否则继续；
　　STEP4 取η-1(i+1) =supη-1(i)-Δ，求Q(i+1)，返回STEP2．
　　考虑具有弱阻尼特性的卫星姿态控制\[7\]，系统可用如下状态方程描述

其中，惯量J1=1,J2=0.1,k,d为弹簧力矩常数和粘滞阻尼系数：0.09≤k≤0.4，0.09，取名义对象参数为k0=0.09,d0=0.003794．文[7]采用精确极点配置最优设计得到的控制器虽能使系统具有良好的响应特性，但鲁棒性较差，对象发生摄动后系统性能明显变坏．现用本文给出的方法重新设计．系统期望特性为ωn=0.7，ζ= 0.5，可取闭环极点配置圆域C(8,8)．系统中的参数摄动大部分起因于电子元件的热噪声，可视为L2有界，且δ2Δ=1/1700,又初值不确定性满足|x0|2≤δ20=0.04，则由式(7)可得rv =0.3385,考虑一定裕量，取rv=0.5．利用前述算法得最优反馈控制增益Ku=[-3.0957,4.4499,8.8680,6.9377]，对应的加权阵,

　　其闭环极点分布图如图2所示．图2中内圈代表圆域C(q,rc)，外圈代表圆域C(q,r)．该图表明对应参数最大摄动，闭环极点仍位于圆域C(q,r)中．图3给出了当θ2(0)=0.2时的响应曲线，从中可见该设计对参数摄动这种不确定性所具有的鲁棒性．与文\[7\]中的设计结果相比鲁棒性确实得到了提高，但反馈控制增益相对略大．


图2　闭环极点分布图

图3　x0(1)为0.2的闭环瞬态响应
　　5　结束语
　　本文结合时域LQL设计和频域极点配置各自的特点，研究了LQL设计中满足区域极点约束的加权阵的选取问题．首先给出了闭环极点属于最优极点集的充分性条件；然后分析了L2有界不确定性对闭环极点的最坏影响，获得了上界的解析表达式，从而为实现鲁棒最优区域极点配置提供了重要依据；最后据此利用表征圆域极点约束的Lyapunov方程得到加权阵的构造性公式，并分析加权阵为正半定的必要性条件，而此必要性条件又恰恰给出了LQL设计中待定参数η的下界，因η与H∞控制中的参数γ相对应，表征了系统对干扰的抑制程度，所以可认为本文对深入研究LQL与H∞控制设计之间的内在联系具有重要参考价值．
*国家自然科学基金No.69474041资助.
作者简介：范颖晖，女，27岁，博士后．研究领域为鲁棒最优控制、复杂工业过程优化设定．
　　　　　张福恩，男，61岁，教授，博士生导师．研究领域为航天控制理论及应用、鲁棒控制理论及应用．
　　　　　陈善本，男，41岁，教授，博士生导师．研究领域为鲁棒最优控制、人工神经元网络、焊接机器人智能控制．
作者单位：范颖晖　柴天佑:东北大学自动化研究中心　110006
　　　　　陈善本：哈尔滨工业大学控制工程系
　　　　　张福恩：焊接国家重点实验室　150001
参考文献
　1　Chen S. B.,The Robust Optimal Control of Uncertain System-state Space Method,IEEE Trans. Automat. Contr. 1993,38(6):951～957
　2　Haddad W.M.,Bernstein D.S.,Controller Design with Regional Pole Constraints,IEEE Trans. Automat. Contr. 1992,37(1):54～69
　3　Hom,R. A. and Johson,C. R. ,Matrix Analysis,(Cambrige,1990)
　4　黄　琳．系统与控制理论中的线性代数．科学出版社．1984,224～269
　5　Boykin W H,Bullock T E,Elder J M,Frazier B D. Digital Missle Controller Design and Analysis Information. AD 729854. College of Engineering,University of Florida-Gainesville,Florida,1971,78～84
　6　范颖晖．具有L2有界不确定性系统鲁棒最优控制的LQL设计方法研究．哈尔滨工业大学博士论文．1997
　7　Franklin G F,Powell J D,Abbas E N. Feedback Control of Dynamic Systems,Addison-Wesley,1986,447～473
1997-11-06收稿
