软件学报
JOURNAL OF SOFTWARE
1999年 第3期 No.3 1999



代数等式系有穷公理化的一个扩充定理
王驹　赵希顺
摘　要　首先介绍两个概念：主同余类的弱可定义性以及次直不可分解类的可定义性.证明了任一有穷代数A,若V(A)具有弱可定义的主同余类以及可定义次直不可分解类，则它的等式系是可以有穷公理化的.进一步的讨论揭示出其结果是新的，是对已有工作的有意义的扩充.
关键词　等式系，主同余类，次直不可分解类.
中图法分类号　TP301
An Extension Theorem on Finitely Axiomatizable Algebraic Equation Systems
WANG Ju
Institute of Software The Chinese Academy of Sciences Beijing 100080
ZHAO Xi-shun
　Department of Mathematics Nanjing University Nanjing 210008
Abstract　 First, the two notions: weakly definable principal congruence and definable subdirectly irreducible class are introduced in this paper. The authors prove that if a variety generated by a finite algebra has both weakly definable principal congruence and definable subdirectly irreducible class, its equational system is finitely axiomatizable. Further discussion shows that the results are new, and are significant generalization of the known results.
Key words　Equational system, principal congruence, subdirectly irreducible class.
　　随着近年来计算机理论研究中代数归约的应用及发展，很多原来属于代数理论的问题引起了计算机理论工作者的兴趣.其中之一即是代数的等式系的有穷公理化问题.关于它在代数归约研究中潜在的应用前景，只需指出一点就够了：它将有助于将高阶的代数语言归结为一阶语言.
　　任给一个有穷代数A,比如，群、环、域、布尔代数、格、代数归约理论中的many-sorted algebra等等.它的等式系Σ(A)指的是所有形如p=q又满足：Ap=q的等式全体，这里p,q是A的语言中的任意项.Σ(A)是可以有穷公理化的，如果存在Σ(A)的一个有穷子集 Σ1,Σ1Σ(A),使对任一Σ(A)中的公式p=q,我们有Σ1├p=q,├是关系“可推出”的简写.
　　代数等式系有穷公理化研究几乎有大半个世纪的历史［1］.很难给出一个哪怕是比较完全的综述.在否定性的研究方向（即不可有穷公理化）：Lyndon在1954年构造了一个仅含7个元素的代数，带1个二元运算，1个一元运算，它的等式系是不可有穷公理化的.以后，Murskii的三元代数（1965年）；Perkins的六元半群（1969年）；Polin的有穷非结合环(1976年)等，都是这方面熟知的结果.1986年，Bryant定义了所谓的有穷pointed group,也是不可有穷公理化的.Polin的结果及finite pointed group的结果的重要性在于：它们与著名的Oates-Powell［2］定理形成了十分强烈的对比.后者是说：任一有穷群的等式系都是可以有穷公理化的.这3类有穷代数，都归于模族类.以上事实也揭示出有穷公理化问题远比人们想象的复杂得多.
　　在肯定的方面，主要的工作有：Birkhoff(1941年)证明：如果A有穷，且是有穷型（即只含有穷个函词），又如果只允许有穷个变元，则A的等式系可有穷公理化.Mckenzie(1978年):如果V(A)有可定主同余类，有穷型，只含有穷个次直不可分解代数，都是有穷的，则A的等式系可有穷公理化.K.Baker(1978年)［1］证明：若A是有穷且有穷型，V(A)是分配的，则A的等式系可有穷公理化.1988年，Mckenzie把结果推广到只含有穷个次直不可分解代数的模族上［3］.另外，关于具体的代数、二元代数（Lyndon,1951年）、有限群(Oates-Powell,1965年)、有限环(Kruse,Lvov,1973年)等，都是可有穷公理化的.
　　从整个研究的发展过程来看，Baker在分配族上的工作及Oates-Powell关于群的结果，被认为是主要的进展.一个几十年未解决的问题是：如何将Baker定理以及Oates-Powell定理统一到一个扩充定理中.但由于Polin在1976年的结果及1996年pointed group的给出，人们已几乎相信，这样的一个扩充不存在.
　　本文的结果即是在上述方向研究中的一个新结果.其意义在于：(1) 它是已知结果的真正扩充.(2) 现在已知的是，它至少分别覆盖以上两个定理的很大部份.
1　主要定理及其证明 
　　在本节里，假定A是一个有穷代数，具有穷型.V(A)是由A生成的代数族，是所有满足A的等式系的同类型的代数的全体.
　　定义1. 我们说V(A)有弱可定义主同余类，如果在A的语言中，存在两个一阶公式Γ1(w,v,x,y),Γ2(w,v,x,y),使得对所有的B∈V(A),对所有的s,t∈B,s≠t,我们总能找到a,b∈B,a≠b,满足：
　　(1) BΓ1(w,v,x,y),则θ(w,v)≤θ(x,y).
　　(2) BΓ2(w,v,x,y),则θ(w,v)≤θ(x,y).
　　(3) BΓ1(a,b,s,t),亦即 a=b (mod θ(s,t)).
　　(4) 公式Γ2定义了整个由a,b生成的主同余类θ(a,b).亦即对所有的c,d∈B:c=d (mod θ(a,b))当且仅当BΓ2(c,d,a,b).
　　定义2. (K.Baker) 我们说V(A)有可定义的次直不可分解代数类，如果存在A的语言的一个公式Φ,使得对任一与A同型的代数B,下式成立：
B是次直不可约的且B∈V(A) 当且仅当BΦ.
　　主定理. 如果A有弱可定义主同余类且V(A)中的次直不可约代数类是可定义的，则A的等式系是可有穷公理化的.
　　证明：先建立下列的引理.
　　引理1. 存在一个一阶公式Φ1,它表达性质：V(A)“ 有弱可定义主同余类 ”，即：V(A)有弱可定义主同余类当且仅当B∈V(A),BΦ1.
　　引理证明：考虑下面的公式：
　　s,t［s≠t→a,b［a≠b∧Γ1(a,b,s,t)∧{Γ2(a,b,a,b)∧xΓ2(x,x,a,b)∧x,y(Γ2(x,y,a,b)→Γ2(y,x,a,b))∧x,y,z(Γ2(x,y,a,b)∧Γ2(y,z,a,b)→Γ2(x,z,a,b))∧
x1,y1,x2,y2,...,xn,yn ［∧1≤i≤nΓ2(xi,yi,a,b)→Γ2(f(),f(),a,b)］}］］.
这里,Φn是A的语言中n元函词的全体.注意Φ是一个有穷集.显然,以上公式中在{ }内的部分定义了主同余类θ(a,b).将以上公式记为Ψ1.容易验证：任给与A同型的代数B,可以不在V(A)内，如果我们有B Ψ1，则B满足定义1中的(1)～(4).
　　引理2. 在A的语言中，存在一个公式Ψ2,对所有与A同型的代数B,可以不在V(A)内，有BΨ2 当且仅当BΨ1,而且B是次直不可约的.
　　证明：考虑下面的公式：
　　Ψ1∧c,d,s,t［s≠t→a,b［a≠b∧Γ1(a,b,s,t)∧{Γ2(a,b,a,b)∧xΓ2(x,x,a,b)∧x,y(Γ2(x,y,a,b)→Γ2(y,x,a,b))∧x,y,z(Γ2(x,y,a,b)∧Γ2(y,z,a,b)→Γ2(x,z,a,b))∧x1,y1,x2,y2,...,xn,yn［∧1≤i≤nΓ2(xi,yi,a,b)→Γ2(f(),f(),a,b)］∧Γ2(c,d,a,b)∧x,y(Γ2(x,y,c,d)→Γ2(c,d,x,y))}］］,
将以上公式记为Ψ2.
　　若BΨ2,当然我们有BΨ1,由(1),θ(a,b)≤θ(s,t),由(2),θ(c,d)≤θ(a,b),从而θ(c,d)≤θ(s,t).s,t是任意的，所以，θ(c,d)是CON(B)中唯一的最小同余类，所以B是次直不可约的.
　　反过来，若BΨ1同时又是次直不可约的.令γ是B的最小的同余类.任给s,t∈B,s≠t，则γ≤θ(s,t).由Ψ1,存在a,b,使Γ1(a,b,s,t),而θ(a,b)是可以用Γ2来定义的.由于γ是最小的，我们有γ≤θ(a,b).于是有c,d,使θ(c,d)=γ,同时，Γ2(c,d,a,b).所以Ψ2在B中成立.
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　　回到主定理的证明.由以上两个引理，我们有
Σ(A)├Ψ1∧(Ψ2→Φ).
由紧致性定理，存在Σ(A)的一个有穷集Σ1,使
Σ1├Ψ1∧(Ψ2→Φ).
我们要证：Σ1├Σ(A)，即Σ(A)可有穷公理化.只需证V(Σ1)=V(Σ(A))即可.但我们早有V(Σ(A))V(Σ1).此时，只需证V(Σ1) 中的次直不可约代数都在V(A)中.令B∈V(Σ1),是次直不可约的，则BΣ1.于是BΨ1,同时我们有BΨ2(由引理2).但BΨ2→Φ,所以,BΦ.由定理给出的条件，B∈V(A).所以我们有V(Σ(A))=V(A)=V(Σ1).
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2　讨 论
　　弄清楚我们的主定理有多大的覆盖面，显然是一个有意义的问题，但不是一个容易的问题.为了揭示它确实是已知结果的扩充，我们考虑两个已知的、著名的有穷公理化定理：Mckenzie定理及Oates-Powell定理.二者是互相独立的.
　　Mckenzie定理. 如果A有穷且是有穷型，V(A)仅含有穷个有穷次直不可约代数，同时又有可定义的主同余类，则V(A)的等式系是可有穷公理化的.
　　Oates-Powell定理. G是有限群，则V(G)的等式系可有穷公理化.
　　Oates-Powell定理显然不包括Mckenzie定理.反过来，V(G)中（一般地说）含有无穷个次直不可约群，而只在很少的情况下，V(G)有可定义的主同余类，因而Mckenzie定理及Oates-Powell定理是互相独立的.
　　命题1. V(A)有可定义的主同余类，则V(A)有弱可定义的主同余类.
　　证明：显然.
　　命题2. V(A)含有穷个有穷次直不可约代数，则V(A)有可定义次直不可约类.
　　证明：由Quakenbush的结果（见文献［1］），V(A)中没有无穷的次直不可约代数.令S1,S2,...,Sn是V(A)中次直不可约代数的全体.只要证明任一Si在A的语言中是可定义的即可.实际上,任一有穷的代数都是可定义的.令S是有穷的.记S={a1,a2,...,ak},S的运算是f1,f2,...,fm.定义公式：
Ω≡x1,x2,...,xm［Φ∧1≤i≤mΨi］.
这里,Φ≡∧i≠j1≤i,j≤k(xi≠xj)∧x(∨1≤i,j≤kx=xi)，Ψi≡∧f()=xj,={xi1,xi2,...,xis},而且 fi(ai1,ai2,...,ais)=aj.注意这里我们默认xi对应于ai.
　　容易验证，对A的语言的任一代数S′,S′当且仅当S′S.
　　由命题1，2，主定理是Mckenzie定理的扩充.
　　为了证明主定理是Mckenzie定理的真实扩充，只需借助于Oates-Powell定理的一个特殊情形即可.
　　命题3. G是有限幂零群，则V(G)有可定义主同余类.（从而有弱可定义主同余类）.
　　证明：见文献［4］.
　　很容易找到一个有限幂零群G,使V(G)中存在任意大的有限次直不可约群,由Taylor的结果［3］，V(G)中存在任意大的无穷次直不可约群，V(G)显然不在Mckenzie定理的范围内.但是，我们有：
　　命题4. V(G)有可定义的次直不可约类.
证明：由Oates-Powell定理，V(G)可有穷公理化，从而存在有穷个等式pi=qi,1≤i≤n,使对任一群F,F,pi=qi,1≤i≤n,i当且仅当F∈V(G).由命题3,存在一主同余类公式Γ(w,v,x,y),它定义V(G)中的所有主同余类.考虑下面的公式：
Φ≡∧1≤i≤n(pi=qi)∧w,vx,yΓ(w,v,x,y)，
这里，等式pi=qi被当作带全称量词的语句.容易验证，Φ定义了V(G)中的次直不可约类.
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所以主定理是Mckenzie定理的真正扩充.
　　本文研究得到国家自然科学基金和国家863高科技项目基金资助.作者王驹,1950年生,研究员,主要研究领域为逻辑及计算机科学.赵希顺,1961年生,在职博士生,副教授，主要研究领域为逻辑及计算机科学.
　　本文通讯联系人:王驹，北京100080,中国科学院软件研究所
作者单位：王驹：中国科学院软件研究所　北京　100080
　　　　　赵希顺：南京大学数学系　南京　210008
参考文献
［1］Burris S, Sankappanavar H P. A Course in Universal Algebra. New York: Spring-Verlag. 1981
［2］Oates S, Powell M B. Identical relations in finite groups. Journal of Algebra, 1965,(1):11～39
［3］Freese R, Mckenzie R. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties. Cambridge: Cambridge University Press, 1987
［4］Burris S Lawrence. Definable principal congruences in varieties of groups and rings. Algebra Universali, 1979,(9):152～164
（1998-03-30收稿）
